总述

主要内容

总述

总述：

历史车轮的转离不开数学的发展。十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的前进。然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872年，实数的三大派理论：戴德金“分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了！　1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套原理。由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。

主要内容

七个等价命题：

实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都存在唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。

确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

单调有界原理:若数列{Xn}单调上升有上界，则　{Xn}必有极限。

区间套定理:设{[a,b] }是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即

。

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。

紧致性定理：有界数列必有收敛子数列

柯西收敛定理：在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：