数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法。是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。

常见公式、定理、推论

基本公式((1)抛物线 (2)圆 （3）三角函数 （4）反三角函数 （5）数列 （6）乘法与因式分解 (7)三角不等式 (8)一元二次方程)

对数基本性质

公式分类

概率公式

几何公理(线角 三角形（三角形具有稳定性） 四边形（四边形具有不稳定性） 圆)

数学归纳法

排列，组合

微积分学(极限的定义： 导数 曲率 不定积分 定积分)

Word中编辑数学公式

常见公式、定理、推论

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间直线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 在同一平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理：同一 平面内，经过直线外一点 ，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

9 两直线平行 同位角相等

10 两直线平行， 内错角相等

11 同旁内角互补两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 三角形定理：任意两边的和大于第三边

16 推论： 三角形任意两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46 勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48 定理 四边形的内角和等于360°

49 四边形的外角和等于360°

50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51 推论 任意多边的外角和等于360°

52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且互相平行

54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55 平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56 平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57 平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58 平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59 平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理5两组对边分别平行的四边形是平行四边形

60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

矩形判定定理3 有一个角是直角的平行四边形是矩形

64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

菱形判定定理3 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75 等腰梯形的两条对角线相等

76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形 两腰相等的梯形是等腰梯形

78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101 圆是定点的距离等于定长的点的集合

102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104 同圆或等圆的半径相等

105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121 ①直线L和⊙O相交 d<r

②直线L和⊙O相切 d=r

.④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两.乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b2)

a^3-b^3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

Δ=b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

Δ=b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

Δ=b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n*n

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径）

余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB (注：角B是边a和边c的夹角)

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (注：（a,b）是圆心坐标)

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (注：D^2+E^2-4F>0)

抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2π*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中，S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体V=π*r^2h

基本公式

(1)抛物线

y = ax^2 + bx + c （a≠0）

就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c

置于平面直角坐标系中

a > 0时开口向上

a < 0时开口向下

（a=0时为一元一次函数）

c>0时函数图像与y轴正方向相交

c< 0时函数图像与y轴负方向相交

c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y轴

（当然a=0且b≠0时该函数为一次函数）

还有顶点公式y = a（x+h）* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))

就是y等于a乘以（x+h）的平方+k

-h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值和对称轴

抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

(2)圆

球体积=（4/3）π(r^3)

面积=π(r^2)

周长=2πr =πd

圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0

（一）椭圆周长计算公式

按标准椭圆方程：长半轴a，短半轴b 设 λ=（a-b）/（a+b）

椭圆周长 L=π（a+b）（1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384 + ......）

简化：L≈π[1.5（a+b）- sqrt(ab)]

或 L≈π（a+b）（64 - 3λ^4)/（64 - 16λ^2)

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

椭球物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*π*高

（3）三角函数

和差角公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB ；cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)；tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ；cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan^2A) ；cot2A=(cot^2A-1)/2cota

cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a

sin2A=2sinAcosA=2/(tanA+cotA)

另：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA)*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)

八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)； 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) ；-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 ；cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB； tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB； -cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB

降幂公式

sin&sup2;(A)=(1-cos(2A))/2=versin(2A)/2

cos&sup2;(α)=(1+cos(2A))/2=covers(2A)/2

tan&sup2;(α)=(1-cos(2A))/(1+cos(2A))

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

诱导公式

公式一：

弧度制下的角的表示：

sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）

cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）

tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）

cot（2kπ+α）=cotα （k∈Z）

sec（2kπ+α）=secα （k∈Z）

csc（2kπ+α）=cscα （k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）

cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）

tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）

cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）

sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）

csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）

公式二：

弧度制下的角的表示：

sin（π+α）=－sinα （k∈Z）

cos（π+α）=－cosα（k∈Z）

tan（π+α）=tanα（k∈Z）

cot（π+α）=cotα（k∈Z）

sec（π+α）=－secα（k∈Z）

csc（π+α）=－cscα（k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin（180°+α）=－sinα（k∈Z）

cos（180°+α）=－cosα（k∈Z）

tan（180°+α）=tanα（k∈Z）

cot（180°+α）=cotα（k∈Z）

sec（180°+α）=－secα（k∈Z）

csc（180°+α）=－cscα（k∈Z）

公式三：

sin（－α）=－sinα（k∈Z）

cos（－α）=cosα（k∈Z）

tan（－α）=－tanα（k∈Z）

cot（－α）=－cotα（k∈Z）

sec（－α）=secα（k∈Z）

csc－α）=－cscα（k∈Z）

公式四：

弧度制下的角的表示：

sin（π－α）=sinα（k∈Z）

cos（π－α）=－cosα（k∈Z）

tan（π－α）=－tanα（k∈Z）

cot（π－α）=－cotα（k∈Z）

sec（π－α）=－secα（k∈Z）

cot（π－α）=cscα（k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin（180°－α）=sinα（k∈Z）

cos（180°－α）=－cosα（k∈Z）

tan（180°－α）=－tanα（k∈Z）

cot（180°－α）=－cotα（k∈Z）

sec（180°－α）=－secα（k∈Z）

csc（180°－α）=cscα（k∈Z）

公式五：

弧度制下的角的表示：

sin（2π－α）=－sinα（k∈Z）

cos（2π－α）=cosα（k∈Z）

tan（2π－α）=－tanα（k∈Z）

cot（2π－α）=－cotα（k∈Z）

sec（2π－α）=secα（k∈Z）

csc（2π－α）=－cscα（k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin（360°－α）=－sinα（k∈Z）

cos（360°－α）=cosα（k∈Z）

tan（360°－α）=－tanα（k∈Z）

cot（360°－α）=－cotα（k∈Z）

sec（360°－α）=secα（k∈Z）

csc（360°－α）=－cscα（k∈Z）

公式六：

弧度制下的角的表示：

sin（π/2+α）=cosα（k∈Z）

cos（π/2+α）=—sinα（k∈Z）

tan（π/2+α）=－cotα（k∈Z）

cot（π/2+α）=－tanα（k∈Z）

sec（π/2+α）=－cscα（k∈Z）

csc（π/2+α）=secα（k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin（90°+α）=cosα（k∈Z）

cos（90°+α）=－sinα（k∈Z）

tan（90°+α）=－cotα（k∈Z）

cot（90°+α）=－tanα（k∈Z）

sec（90°+α）=－cscα（k∈Z）

csc（90°+α）=secα（k∈Z）

⒉

弧度制下的角的表示：

sin（π/2－α）=cosα（k∈Z）

cos（π/2－α）=sinα（k∈Z）

tan（π/2－α）=cotα（k∈Z）

cot（π/2－α）=tanα（k∈Z）

sec（π/2－α）=cscα（k∈Z）

csc（π/2－α）=secα（k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin (90°－α)=cosα（k∈Z）

cos (90°－α)=sinα（k∈Z）

tan (90°－α)=cotα（k∈Z）

cot (90°－α)=tanα（k∈Z）

sec (90°－α)=cscα（k∈Z）

csc (90°－α)=secα（k∈Z）

3

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2+α）=－cosα（k∈Z）

cos（3π/2+α）=sinα（k∈Z）

tan（3π/2+α）=－cotα（k∈Z）

cot（3π/2+α）=－tanα（k∈Z）

sec（3π/2+α）=cscα（k∈Z）

csc（3π/2+α）=－secα（k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin（270°+α）=－cosα（k∈Z）

cos（270°+α）=sinα（k∈Z）

tan（270°+α）=－cotα（k∈Z）

cot（270°+α）=－tanα（k∈Z）

sec（270°+α）=cscα（k∈Z）

csc（270°+α）=－secα（k∈Z）

4

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2－α）=－cosα（k∈Z）

cos（3π/2－α）=－sinα（k∈Z）

tan（3π/2－α）=cotα（k∈Z）

cot（3π/2－α）=tanα（k∈Z）

sec（3π/2－α）=－secα（k∈Z）

csc（3π/2－α）=－secα（k∈Z）

角度制下的角的表示：

sin（270°－α）=－cosα（k∈Z）

cos（270°－α）=－sinα（k∈Z）

tan（270°－α）=cotα（k∈Z）

cot（270°－α）=tanα（k∈Z）

sec（270°－α）=－cscα（k∈Z）

csc（270°－α）=－secα（k∈Z）

（4）反三角函数

arcsin（-x）=-arcsinx

arccos（-x）=π-arccosx

arctan（-x）=-arctanx

arccot（-x）=π-arccotx

arc sin x+arc cos x=π/2

arc tan x+arc cot x=π/2

（5）数列

等差数列通项公式：an﹦a1﹢（n-1）d

等差数列前n项和：Sn=[n(A1+An)]/2 =nA1+[n(n-1)d]/2

等比数列通项公式：an=a1*q^（n－1）；

等比数列前n项和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n （n≠1）

某些数列前n项和：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n^2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

（6）乘法与因式分解

因式分解

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

乘法公式

把上面的因式分解公式左边和右边颠倒过来就是乘法公式

(7)三角不等式

-|a|≤a≤|a|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1+z2+...+zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|

|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1-z2-...-zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|

|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1±z2±。..±zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|

(8)一元二次方程

一元二次方程的解wx1= -b+√(b^2-4ac)/2a x2= -b-√(b^2-4ac)/2a

根与系数的关系(韦达定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a

判别式△= b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实根

>0 则方程有两个不相等的两实根

<0 则方程有两共轭复数根d（没有实根)

对数基本性质

如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么：

1．a^log(a)(b)=b

2．log(a)(a)=1

3．log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4．log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5．log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6．log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n

公式分类

公式表达式

圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：△=D^2+E^2-4F>0

抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c' *h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4π*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2π*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中，S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π*r2h

图形周长 面积 体积公式

长方形的周长=（长+宽）×2 c =2〔a+b〕

正方形的周长=边长×4 c=4a

长方形的面积=长×宽 s=ab

正方形的面积=边长×边长 s=a2

三角形的面积=底×高÷2

已知三角形底a，高h，则S=ah/2

已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

（海伦秦九韶公式） （p= (a+b+c)/2）

和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4

已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2

设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

则三角形面积=(a+b+c)r/2

设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r

则三角形面积=abc/4r

已知三角形三边a、b、c,则S= √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶） 注：秦九韶公式与海伦公式等价

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

【| a b 1|

| c d 1| 为三阶行列式，此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里　| e f 1 |

ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值， 如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】

秦九韶三角形中线面积公式:

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长。

平行四边形的面积=底×高

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

直径=d=2r

圆的周长=πd= 2πr

圆的面积= πr^2

长方体的表面积=

（长×宽+宽×高+高×长）×2 s=2〔ab+bc+ca〕

长方体的体积 =长×宽×高 v=abc

正方体的表面积=棱长×棱长×6 s=6a^2

正方体的体积=棱长×棱长×棱长 v=a^3

圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 s=ch

圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 s=2╥r^2

圆柱的体积=底面积×高 v=sh

圆锥的体积=底面积×高÷3 v=sh÷3

柱体体积=底面积×高

平面图形

名称 符号 周长C和面积S

正方形 a—边长 C=4a S=a^2

长方形 a和b－边长 C=2(a+b) S=ab

三角形 a,b,c－三边长 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2

h－a边上的高 =ab/2×sinC

s－周长的一半 =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2

A,B,C－内角 =a^2sinBsinC/(2sinA)

概率公式

定义:p（A）=m/n，

全概率公式(贝页斯公式)

某事件A是有B,C,D三种因素造成的，求这一事件发生的概率

p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)

其中p(A/B)叫条件概率，即：在B发生的情况下，A发生的概率

伯努力公式

是用以求某事件已经发生，求其是哪种因素的概率造成的

好以上例中已知A事件发生了，用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大，C因素，D因素同样也求．

古典概型P（A）=A包含的基本事件数/基本事件总数

几何概型P(A)=A面积/总的面积

条件概率P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数

概率的性质

性质1．P(Φ)=0.

性质2（有限可加性）．当n个事件A1，…，An两两互不相容时：　P(A1∪。..∪An)=P(A1)+...+P(An)．

性质3．对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)．

性质4．当事件A,B满足A包含于B时：P(BnA)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)．

性质5．对于任意一个事件A，P(A)≤1．

性质6．对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)．

性质7（加法公式）．对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

几何公理

线角

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

三角形（三角形具有稳定性）

15 定理 三角形任意两边的和大于第三边

16 推论 三角形任意两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等

25 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

26 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

27 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

28 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

29 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

30 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

31 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

32 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

33 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

34 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

35 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

36 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

37 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

38 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

39 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

40 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

41 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

42 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

43逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

44勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

45勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

四边形（四边形具有不稳定性）

46定理 四边形的内角和等于360°

47四边形的外角和等于360°

48多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

49推论 任意多边的外角和等于360°

50平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

51平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

52推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

53平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

54平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

55平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

56平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

58矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

59矩形性质定理2 矩形的对角线相等

60矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

61矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

62菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

63菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

64菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2

65菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

66菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

67正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

68正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

69定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

70定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

71逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

72等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

73等腰梯形的两条对角线相等

74等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

75对角线相等的梯形是等腰梯形

76平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

77 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

78 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

79 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

80 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h

81 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d

82 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

83 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

84 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

85 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

86 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

87 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

88 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

89 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）

90 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

91 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）

92 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）

93 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

94 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

95 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

96 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

97任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

98任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

圆

99圆是定点的距离等于定长的点的集合

100圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

101圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

103同圆或等圆的半径相等

104到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

105和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

106到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

107到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

108定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

109垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

110推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

111推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

112圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

113定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

114推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

115定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

116推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

117推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径

118推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

119定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

120①直线l和⊙o相交 d﹤r

②直线l和⊙o相切 d=r

③直线l和⊙o相离 d﹥r

121切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

122切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

123推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

125切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

126圆的外切四边形的两组对边的和相等

127弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

128推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

129相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

130推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

131切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

132推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

133如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

134①两圆外离 d﹥r+r ②两圆外切 d=r+r

③两圆相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r)

④两圆内切 d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r)

135定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

136定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

137定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

138正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°/n

139定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

149正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

141正三角形面积√3a&sup2;/4( a表示边长)

142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为（n-2）(k-2)=4

143弧长计算公式：l=nπr/180

144扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2

145内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)

146等腰三角形的两个底角相等

147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

148如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

149三条边都相等的三角形叫做等边三角形

150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形

数学归纳法

（—）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

（二）第二数学归纳法：

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

（1）当n=1回时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立。

那么，命题对于一切自然数n来说都成立。

（三）螺旋归纳法：

螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下：

Pi和Qi是两组命题，如果：

P1成立

Pi成立=>Qi成立

那么Pi,Qi对所有自然数i成立

利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的

排列，组合

·阶乘：

n！=1×2×3×……×n，（n为不小于0的整数）

规定0！=1。

·排列

从n个不同元素中取m个元素的所有排列个数，

A（n，m）= n！/(n - m)！ （m是上标，n是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）

··组合

从n个不同的元素里，每次取出m个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。所有不同组合的种数

C（n，m）= A（n，m）/m！=n！/[m！·（n－m）！] （m是上标，n是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）

组合数的性质：

C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);

对组合数C(n,k)，将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数

整次数二项式定理（binomial theorem）

(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b+C(n,2)×a^(n-2)×b^2+...+C(n,n)×a^0×b^n

所以，有 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)

=C(n,0)×1^n+C(n,1)×1^(n-1)×1+C(n,2)×1^(n-2)×1^2+...+C(n,n)×1^n =（1+1）^n

= 2^n

微积分学

极限的定义：

设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

|f(x)-A|<ε

那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限

几个常用数列的极限：

an=c 常数列 极限为c

an=1/n 极限为0

an=x^n 绝对值x小于1 极限为0

导数

定义：f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx

几种常见函数的导数公式：

① C'=0(C为常数函数)

② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)；

③ (sinx)' = cosx

④ (cosx)' = - sinx

⑤ (e^x)' = e^x

⑥ (a^x)' = (a^x) * Ina （ln为自然对数）

⑦ (Inx)' = 1/x（ln为自然对数 X>0）

⑧ (log a x)'=1/(xlna) ,(a>0且a不等于1)

⑨(sinh(x))'=cosh(x)

⑩(cosh(x))'=sinh(x)

(tanh(x))'=sech^2(x)

(coth(x))'=-csch^2(x)

(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)

(csch(x))'=-csch(x)coth(x)

(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)

(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)

(arctanh(x))'=1/(1+x^2) (|x|<1)

(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)

(chx)‘=shx, （ch为双曲余弦函数）

（shx）'=chx: （sh为双曲正弦函数）

（3）导数的四则运算法则：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

（4）复合函数的导数

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（链式法则）：

d f[u（x）]/dx=（d f/du）*（du/dx）。

[∫（上限h（x），下限g（x）） f（x）dx]’=f[h（x）]·h'（x）- f[g（x）]·g'（x）

洛必达法则(L'Hospital)：

是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设

(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零

(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0

(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设

(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零

(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0

(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。

曲率

K = lim(Δs→0) |Δα/Δs|

当曲线y=f(x)存在二阶导数时，K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2);

曲率半径R=1/K;

不定积分

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。

记作∫f(x)dx。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。

也可以表述成,积分是微分的逆运算，即知道了导函数,求原函数。

·基本公式：

1）∫0dx=c;

∫a dx=ax+c;

2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)　dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c;

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2)　dx=arcsin(x/a)+c;

16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;

17) ∫shx dx=chx+c;

18) ∫chx dx=shx+c;

19) ∫thx dx=ln(chx)+c;

·分部积分法:

∫u(x)·v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d u(x)=u(x)·v(x) -∫u'(x)·v(x) dx.

一元函数泰勒公式(Taylor's formula)

泰勒中值定理：若f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x0)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项，这里ξ在x和x0之间。

定积分

形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面，下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

牛顿-莱布尼兹公式：若F'(x)=f(x)，那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。微分方程凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。

如 二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解：

设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。

1 若实根r1不等于r2

y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x).

2 若实根r=r1=r2

y=(C1+C2x)*e^(rx)

3 若有一对共轭复根 r1, 2=λ±ib ：

y=e^（λx）·[C1·cos（bx）+ C2·sin（bx）]

普通分类

两点成一线，多线成面，

多面成体，多体成界，多界成。。。

9 圆柱体

v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长

(1)侧面积=底面周长×高

(2)表面积=侧面积+底面积×2

(3)体积=底面积×高

（4）体积=侧面积÷2×半径

植树问题

1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数=段数+1=全长÷株距－1

全长=株距×(株数－1)

株距=全长÷(株数－1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

株距=全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数=段数－1=全长÷株距－1

全长=株距×(株数+1)

株距=全长÷(株数+1)

2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

株距=全长÷株数

盈亏问题

(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

相遇问题

相遇路程=速度和×相遇时间

相遇时间=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离=速度差×追及时间

追及时间=追及距离÷速度差

速度差=追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度－水流速度

静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(顺流速度－逆流速度)÷2

浓度问题

溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度

溶液的重量×浓度=溶质的重量

溶质的重量÷浓度=溶液的重量

利润与折扣问题

利润=售出价－成本

利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额=本金×涨跌百分比

折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)

利息=本金×利率×时间

税后利息=本金×利率×时间×(1－20%) 注：扣税要扣20%

Word中编辑数学公式

Microsoft Word具有创建数学公式的功能，以Word2010软件为例介绍方法：

第1步，打开Word2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。

第2步，在Word2010文档中将创建一个空白公式框架，然后通过键盘或“公式工具/设计”功能区的“符号”分组输入公式内容。