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词条 雪花曲线
释义
定义与性质

雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生假定也跟雪花类似。由等边三角形开始把三角形的每条边三等分,并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边。接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程,即在每条边三分后的中段,向外画新的尖形.不断重复这样的过程,便产生了雪花曲线。雪花曲线令人惊异的性质是:它具有有限的面积,但却有着无限的周长。雪花曲线的周长持续增加而没有界限,但整条曲线却可以画在一张很小的纸上。其有限的面积为原三角形的8/5倍。雪花曲线是三维曲线。

雪花曲线是一条1.262维的分形曲线,参见分形学和分形理论的有关内容。

云层的边缘,山脉的轮廓,雪花,海岸线等自然界里的不规则几何图形都可用“雪花曲线”的方式来研究,这种学科叫“分形几何学”。

周长规律推导

分形次数 边数 边长

0 ; 3 ; 1

1 ; 3*4 ; 1/3

2 ; 3*4*4 ; 1/(3*3)

3 ; 3*4*4*4 ; 1/(3*3*3)

4 ; 3*4^4 ; 3^(-4)

5 ; 3*4^5 ; 3^(-5)

……

2008 ; 3*4^2008 ; 3^(-2008)

……

n ; 3*4^n ; 3^(-n)

-------------------------------------------------

所以,第n个图形的周长公式为:4^n/3^(n-1)

面积推导

(数列法)

根据相似三角形原则,每次增多的小三角形每一个都是上次每一个的1/9,数量多了3倍(原来的4倍)

所以A(n)=4*A(n-1)/9;A1=1/3,A2=4/27…(因为第一次是三倍,后面的都是4倍)

注意这里的An是第n次的面积增加量A(n)=(3/4)*(4/9)^n;为一等比数列

最后求A(n)的前n项和T(n)就是第n次增加后的面积(这里不包括原三角形面积,设三角形面积为1)(用等比数列求和公式),但是目标公式是第n个图形,也就是第n-1次面积,也就是求S(n)=T(n-1)+1的公式,最终面积公式S(n)=8/5-(27/20)*(4/9)^n,因为4/9<1,所以n趋于无穷大的时候4/9的n次幂就是0,最终最大面积就是1.6(8/5),而S(1)=8/5-27/20*4/9=1得到S(+∞)=1.6*S(1)也就是最大面积是原来三角形面积的1.6倍

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更新时间:2025/1/12 5:50:11