定义(几何意义 代数意义)

应用(计算机语言实现)

有关性质

绝对值不等式

关于绝对值的争议(关于无符号数的可能的计算方法： 绝对值为无符号数)

定义

数轴上一个数所对应的点与原点（O点）的距离叫做该数绝对值。绝对值只能为非负数。

代数定义：

|a|=a（a>0）

|a|=-a（a<0）（注：-a不是负数）

|a|=0（a=0）意义 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，（注：相反数为正负号的转变）

几何意义

在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：指在数轴上 表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5.

代数意义

正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

互为相反数的两个数的绝对值相等

a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．

应用

正数的绝对值是它本身。

负数的绝对值是它的相反数。

任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都≥0。

0的绝对值还是0。

特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0

|3|=3 =|-3|=3

当a≥0时，|a|=a

当a<0时，|a|=-a

存在|a-b|=|b-a|

两个负数比较大小，绝对值大的反而小

比如:若 |2(x—1）—3|+|2(y—4）|=0，则x=___,y=____。（| | 是绝对值）。

答案:

2(X-1)-3=0

X=5/2

2Y-8=0

Y=4

一对相反数的绝对值相等：

例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等)

计算机语言实现

计算机语言中，正数的二进制首位（即符号位）为0，负数的二进制首位为1。

32位系统下，4字节数，求绝对值表达式：

abs(x) = (x >> 31) ^ x - (x >> 31)

代码中一般用宏实现：

#define ABS(x) (((x) >> 31) ^ (x)) - ((x) >> 31)

注：" >> "与" ^ "为位运算符，" >> " 右移，" ^ " 异或。

有关性质

无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：

（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。

（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。

（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值等式、不等式：

（1）|a|*|b|=|ab|

（2）|a|/|b|=|a/b|（b≠0）

（3）a^2=|a|^2

这个性质一般用在含绝对值的一元二次方程中，例：x^2-3|x|+2=0，可以变成

|x|^2-3|x|+2=0,(|x|-1)(|x|-2)=0，|x|=1或2，x=±1或±2

（4）|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|

由此可以得出推论|x|-|y|<=|x-y|<=|x|+|y|，因为|x|-|-y|<=|x+(-y)|<=|x|+|-y|

绝对值不等式

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；

B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来

关于绝对值的争议

如果把向南走1公里记为+1，把向北走1公里记为-1，对-1求绝对值，结果就成了向南走了1公里？！显然这里是有问题的。

问题在于无论是正数还是负数都是相对数，不是绝对数，所以相对数求绝对值后得到的应是无符号的数，而不是正数。所以，无符号的数不只是一个零，应该还有其他的无符号数！

所以有，|-1|=|+1|=1，这里1不是正数，而是与0一样的无符号数！

关于无符号数的可能的计算方法：

如果把三个女性记为-3，把四个男性记为+4，问：一共有几个人，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是7个人。如果问男女差是多少，计算方法是相对数相加，是+1。

如果把向南走1公里记为+1，把向北走2公里记为-2，问：一共走了多少公里，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是3公里。如果问相对走了多少公里，计算方法是相对数相加，是-1。

如果把向零上的10度记为+10，把零下5度记为-5，问：一共上下差多少度，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是15度。如果问温的和是多少度，计算方法就是相对数相加，是+5。

如果题中没有说什么是正，如：邮递员送信先向南10米，再向北5米，做题前必须写：记什么为正，一般不用写另一个，因为不是正就是负，知道一个就行了。

所以对于绝对值的概念也是有争议的。有人并不认为绝对值就一定是正数。这说明数学也是在不断发展之中的。而我们的见到的数学只是历史的过程中的一个阶段之一，没有影响到正常的学习。

绝对值为无符号数

当阴阳平衡的时候，事物既不表现出阴，也不表现出阳，也就是零的状态（零的确代表着无，其实也代表着平衡，（-1）+（+1）=0，这不就是平衡嘛！）。所以，所谓（-1）+（+3）=+2，其意思是阴阳的不平衡，阳比阴多两个，所以是+2。而所谓（+1）+（-3）=-2，道理是一样的，只是这时阴占了多数，阴比阳多了两个。

男女、雌雄的道理也是一样的。三个男性（+3）加两个女性（-2）就不平衡，所以也就有了（+3）+（-2）=+1，男性比女性多出一个来。电荷也是如此，如果我们用绸子摩擦玻璃棒，玻璃棒上的电荷就会不平衡，玻璃棒也就会表现出电性。比如说（0）-（-2）=+2，也就是在平衡下减去阴，结果就为阳了，这里就是+2。

那么绝对值是什么呢？绝对值就是无符号的数。比如说三个人，我们不说男性，也不说女性，我们只说人，那么我们用什么符号来表示呢？显然不可以用符号来表示，这里的3只可以是无符号的数，假如我们记为3（注意，这里的3与+3是不同的，+3是有符号的数，而3是无符号的数）。这样，当我们问，三个男性（假设记为+3）加三个女性（假设记为-3），一共有几个人的时候，我们就必须用绝对值相加，也就是|+3|+|-3|=6，也就是六个人。这里的6就是无符号数。如果按照以往的数学观念，我们把这里的6理解为正数就不对了，因为这样就变成了六个男性了。