定义

二元二次方程的解

评析

例子

定义

含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程。其一般式为：

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当c=0,时，a、d至少一项不为零)。

二元二次方程的解

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

（1）有两组相等的实数解。

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解。解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式

（4）当a<2时，方程③有两个不相等的实数根，则原方程有不同的两组实数解。

（5）当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。

（6）当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。

评析

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般用代入法求解，即将方程组中的二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入二元二次方程中，从而化“二元”为“一元”，如此便得到一个一元二次方程。此时，方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定。比如，当时，由于一元二次方程有两个相等的实根，则此方程组有相同的两组实数解……诸如此类。

例子

解:2x+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①,

且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②.

提示: 解方程的基本思想是消元与降次。仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。②*3-①*4，得到一个新的方程。再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:叉乘法及叉阵)，难度较大。也可以运用函数的解析法。在此，谨作点拨。总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。