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词条 乌雷松引理
释义

在拓扑学中,乌雷松引理,有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”,通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用,因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述

乌雷松引理说明,X是一个正规拓扑空间,当且仅当只要A和B是X的不交闭子集,就存在一个从X到单位区间[0, 1]的连续函数:

f : X → [0, 1], 使得对于所有A内的a,都有f(a) = 0,而对于所有B内的b,都有f(b) = 1。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意在以上的表述中,我们并不需要f(x) ≠ 0和≠ 1,对于A和B外部的x。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间,例如“吉洪诺夫性质”和“完全豪斯多夫空间”的表述。例如,这个引理的一个推论是,正规的T1空间是吉洪诺夫空间。

证明

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更新时间:2025/3/24 20:51:51