内容

证明(证法一 证法二 证法三 证法四)

推广

内容

在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD,自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。 （又译"卜拉美古塔定理"）这个定理有另一个名称,叫做"婆罗摩笈多定理"

证明

证法一

(我原创的,很简单)

设PH⊥CD,PM交AB于M.

显然AP/BP=DP/CP,故AM=BM←AP*sin∠APM=BP*sin∠BPM←DP*sin∠PDH=CP*sin∠PCD←PH=PH,证毕

证法二

以下为向量式

设BF=xAF 则EF=（EB+xEA）/(1+x) （定比分点向量公式）

又EF*BC=EF*(DE+EC)=0

所以（EB+xEA)(DE+EC)=0

拆开 EB*DE+EB*EC+xEA*DE+xEA*EC=0

由垂直 所以只有 EB*DE+xEA*EC=0

由相交线定理 所以x=1（EA*EC=EB*ED)（这是代数式，上式为向量式，故成立）

证法三

证明：（向量式）

EF=1/2(EA+EB)

DC=DE+EC

EF*DC=0（去掉垂直的）

证法四

再给出一个用欧几里得几何方法的初等证明：

由∠PDC+∠ACD=90°,∠PDC+∠HPD=90°推出∠ACD=∠HPD推出∠ABD=∠MPB①推出BM=PM②

由∠ABD+∠BAC=90°及①推出∠BAC+∠MPB=90°③

由∠MPA+∠MPB=90°及③推出∠BAC=∠MPA推出AM=PM④

联②④即得AM=BM

推广

推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。