定义

例子

性质

注意问题

定义

对于两个非空集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 A ⊆ B(读作A包含于B)，或 B ⊇ A(读作B包含A)，称集合A是集合B的子集。

规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

空集的子集是它本身。

如果A ⊆ B，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。 任何一个集合是它本身的子集.

集合的包含关系和实数的大小关系有相似之处,记号⊆ 和≦有相似之处,开口指向"较大的一边"

例子

我们知道，任何一个正整数都是自然数。就是说，正整数集E的任何一个元素都是自然数集N的一个元素。

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。

记作：A ⊆ B

　读作“A包含于B”（或B包含A）。例如，上述的

如果A是B的子集，但A中至少有一个元素不属于B，那么A就不是B的真子集，可记作

读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）。

性质

命题 1：空集是任意集合的子集。

证明：给定任意集合 A，要证明Φ是 A 的子集。这要求给出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ没有元素。

对有经验的数学家们来说，推论 "Φ没有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为Φ没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。

为了证明Φ不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于Φ，但不属于 A。 因为Φ没有元素，所以这是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题 2：若 A，B，C 是集合，则：

自反性: A ⊆ A

反对称性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 当且仅当 A = B

传递性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C

这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

Φ ⊆ A ⊆ S (that Φ ⊆ A is Proposition 1 above.)

存在并运算:

A ⊆ A∪B

若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 则 A∪B ⊆ C

存在交运算:

A∩B ⊆ A

若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 则 C ⊆ A∩B

这个命题说明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

命题 4: 对任意两个集合 A 和 B，下列表述等价：

A ⊆ B

A ∩ B = A

A ∪ B = B

A − B =

B′ ⊆ A′

注意问题

谈起子集，特别要注意的是空集，记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集。然后要知道，如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2的n次方个（注意空集的存在），.非空子集有2的n次方减1个，真子集有2的n次方减1个，非空真子集有2的n次方减2个。