简介

建立过程

质疑

简介

集合论中肯定无穷集合存在的公理。

建立过程

G.F.P.康托尔在建立集合论时，发现仅靠逻辑公理不能保证有无穷集合存在，因为没有一个一阶公式能在无穷个体域有效而在有穷个体域上不有效。而利用ZF系统中的公理①～⑥及⑧、⑨（见集合论）虽然可以定义一个个具体的自然数，也可以定义自然数概念，但却无法证明全体自然数的集合w={0,1,… }存在，也无法证明任何一个无穷集合的存在性。实际上,如果ZF(有模型，则全体继承性有穷的集合，即其本身有穷、其元素有穷、其元素的元素有穷……仍是ZF(的模型。即便如此,ZF(公理仍不能保证无穷集的存在，而必须有一条专门的公理。

按照无穷性公理，最基本的无穷集是自然数集w，w的最突出的特点是归纳性它表现为如果 ∈,并且∈A^0蕴涵wU∈A,就称A为归纳集。无穷公理通常就是从这个角度陈述的。利用无穷性公理和子集公理（见子集公理模式）可以定义w为最小的归纳集，一旦有了w就可以证明归纳原则和递归定理，然后就可以递归地定义自然数上的各种运算。例如， 可以把加法定义为m+0=m，n+s(n)=s（m+n）；乘法定义为m·0=0,m·s(n)=m·n+m。例中m为任意自然数，自然数之间的<关系定义为∈。容易验证，这样定义出的自然数与直观的自然数概念是吻合的。利用w和ZF公理可以定义整数、有理数、实数、复数等各种数学对象及其运算，也可以推出形形色色的无穷集合的存在性。

现代集合论中还有一些强无穷性公理，也叫大基数公理，它们断言有各种大基数存在，现已提出的大基数达数十种，它们都可以看作是w的某种推广。

质疑

所谓公理，是指大家都承认的道理。(这是望文生义对“公理”一词的理解)

本公理从未听说过，其论述也有问题。（没听说过，不能做为质疑的理由）

集合就是一些元素的总称，自然数集合，就是全体自然数组成的集体，这是定义，是不用证明的。（在公理化集论中，集合和公理是不用定义的两个概念。没有集合的定义。）

自然数集合的无穷性是这样证明的：假设存在边界X，按照自然数定义，X+1也是自然数，因此自然数边界不是X，假设不成立，也就是自然数集不存在边界，是无穷的。（这只是证明了自然数不是有限的，没有证明自然数是不是集合）

自然数集，不是最小的无穷集合，奇数集、偶数集、能被十整除的自然数集、素数集、大于1亿的自然数集，都是它的子集，也都是无穷集合。

没有这个公理，一样可以定义整数、有理数、实数、复数等各种数学对象及其运算，因此这个公理本身没有讲清楚，也没必要存在。