简介

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作者简介

《算学启蒙》总括

中国元代数学家朱世杰撰，元大德三年（1299）刻于扬州，此刊已不存。

简介

算学启蒙上中下三卷，元大德己亥(1299年）朱世杰撰，共20门，凡259问，所采用的名词术语，多与《四元玉鉴》为表里，由卷首列的筹算布列规则，直到天元术，由浅入深，循序渐进，名为启蒙，实为《四元玉鉴》的导引。《算学启蒙》卷首有淮杨数学家赵元镇的序。赵元镇也曾出资替朱世杰刻印《四元玉鉴》本书包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容，由浅入深，形成了一个较完整的体系。正文前，列出了九九歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度、圆周诸率、正负数加减乘法法则、开方法则等18条作为总括，作为全书的预备知识，其中正负数乘法法则不仅在中国数学著作中，在世界上也是首次出现。许多歌诀比杨辉的更加完整准确，有的已与现代珠算口诀几乎完全一致。这是中国数学著作中第一次出现的与现今一致的口诀。

本书的正文分3卷，20门，259问。卷上8门，113问，包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题，以及各种比例算法。许多问题反映了元代的社会经济情况。卷中7门，71问，是面积、体积及各种算术问题。卷下5门，75问，是关于分数运算、垛积（即高阶等差级数求和）、盈不足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题。还处理了开方过程中系数变号的问题。

《算学启蒙》是一部很好的数学教材，它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类，由浅入深，循序渐进，自成系统，确是一部很好的数学启蒙读物。此书曾传至朝鲜、日本，朝鲜有李朝世宗十五年（1433）的庆州府刻本，清顺治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清罗士琳诸人闻此书，遂请人于北京寻获金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在扬州刊刻，后来诸版皆依此。

目录

卷首总括

卷首有《总括》：释九数法，九归除法……明开方法等18项.

《总括》为全书的预备知识，包括各种口诀，释九数法，九归除法……明开方法等共18项[3]。

1.释九数法：列出九九表，一一如一，一二如二……九九八十一。

2.九归除法：一归如一，见于进成十，二一添作五，逢二进成十，三一三十一……九归随身下，逢九进成十。

3.斤下留法：将两变斤，以如下口诀代替 除16：一退六二五 0.0625），二留一二五（0.125）……十五留九三七五（0.9375）。

4.明纵横诀：布列算筹规则：一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当，满六已上，五在上方，六不聚积，五不单张……若明此诀，可习九章。

5.大数之类：一十百千万亿兆京郂……万万不可思议曰无量数。

6.小数之类：分厘毫丝忽微纤沙埃尘……万万空曰虚，万万清曰空，万万净曰清……

7.求诸率类

8.斛斗起率

9.斤称起率

10.端匹起率

11.田亩起率：田起于忽（阔一寸长六寸），十忽=一丝，十丝=一毫，十毫=一厘，十厘=一分，十分=一亩，百亩=倾，三百步=一里。（亩法：阔一步，长二百四十步。）

12.古法圆率：周三径一，π=3.

13.刘徽新术：周一百五十七尺，直径七尺。（）

14.冲之密率: 周二十二尺，直径七尺。（）

15.明异名诀

16.明正负术

17.明乘除段

18.明开方法

上卷上卷八门113问：

1.纵横因法门8问，

2.身外加法门10问，

3.留头乘法门20问，

4.身外减法门10问，

5.九归除法门29问，

6.异乘同除门8问，

7.库务解税门11问，

8.折变互差门15问

。

中卷中卷七门七十一问：

1.田亩形段门16问，

2.仓屯积粟门9问，

3.双据互换门6问，

4.求差分和门9问，

5.差分均配门10问，

6.商功修筑门13问，

7.贵贱反率门8问

。

下卷下卷五门七十五问：

1.之分齐同门9问，

2.堆积还源门14问，

3.盈不足术门9问，

4.方程正负门9问，

5.开方释锁门34问

作者简介

朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。

朱世杰“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。

《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。

宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家。

《算学启蒙》总括

释九数法 —一如一，一二如二，二二如四。一三如三，二三如六，三三如九。一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。

九归除法 一归如一进，见一进成十。二一添作五，逢二进成十。三一三十一，三二六十二，逢三进成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十。五归添一倍，逢五进成十。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十。七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十。八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十。九归随身下，逢九进成十。

斤下留法 一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留单五，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。

明纵横诀

一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当。满六已上，五在上方。六不积聚，五不单张。言十自过，不满自当。若明此诀，可习“九章”。

大数之类

一、十、百、千、万、十万、百万、千万，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他，万万那由他曰不可思议，万万不可思议曰无量数。

小数之类

一、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙。万万尘曰沙，万万埃曰尘，万万渺曰埃，万万漠曰渺，万万模糊曰漠，万万逡巡曰模糊，万万须臾曰逡巡，万万瞬息曰须臾，万万弹指曰瞬息，万万刹那曰弹指，万万六德曰刹那，万万虚曰六德，万万空曰虚，万万清曰空，万万净曰清。千万净，百万净，十万净，万净，千净，百净，十净，一净。

求诸率类

两求铢二十四乘，铢求两二十四除。斤求两身外加六，两求斤身外减六。秤求斤身外加五，斤求秤身外减五。据物卖钱而用乘，据钱买物而用除。

斛斗起率

量起于圭，十圭谓之一撮，十撮谓之一抄，十抄谓之一勺，十勺谓之一合，十合谓之一升，十升谓之一斗，十斗谓之一斛。

斤秤起率

衡起于黍。十黍谓之一絫，十絫谓之一铢，六铢谓之一分，四分谓之一两，十六两谓之一斤，十五斤谓之一秤，三十斤谓之一钧，四钧谓之一硕。

端匹起率

度起于忽。十忽谓之一丝，十丝谓之一毫，十毫谓之一厘，十厘谓之一分，十分谓之一寸，十寸谓之一尺，十尺谓之一丈。

匹率。端率。

田亩起率

田起于忽。十忽谓之一丝，十丝谓之一毫，十毫谓之一厘，十厘谓之一分，十分谓之一亩，百亩谓之一顷。三百步谓之一里。

古法圆率

周三尺，径一尺。

刘徽新术

周一百五十七尺，径五十尺。

冲之密率

周二十二尺，径七尺。

明异名诀

二分之一为中半，三分之一为少半，三分之二为太半，四分之一为弱半，四分之三为强半。

明正负术

其同名相减，则异名相加；正无入负之，负无入正之。其异名相减，则同名相加；正无入正之，负无入负之。

明乘除段

长平相并曰和，长平相减曰较。长平相乘曰积，自相称之曰幂。同名相乘曰正，异名相乘为负。平除长为小长，长除平为小平。小长平相并曰小和，小长平相减余小较，小长平相乘得一步为小积。

明开方法

置积为实，及方廉隅，同加异减开之。

纵横因法

此法从来向上因，但言十者过其身，呼如本位须当作，知算纵横数目真。

身外加法

算中加法最堪夸，言十之时就位加，但遇呼如身下列，君从法式定无差。

留头乘法

留头乘法别规模，起首先从次位呼，言十靠身如隔位，通临头位破身铺。

身外减法

减法根源必要知，即同求—一般推，呼如身下须当减，言十从身本位除。

九归除法门

实少法多从法归，实多满法进前居。常存除数专心记，法实相停九十余。但遇无除还头位，然将释九数呼除。流传故泄真消息，求一穿韬总不如。