在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。

基本概念(群的定义 定义运算 群的替换定理 定义记法 子群的定义)

历史

群的例子

基本概念

群的定义

设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：　Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；

Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有 e*a=a；叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有 a*e=a；如果e既是左单位元又是右单位元，则a叫做G的单位元。

Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^（-1），叫做a的左逆元，使 a^（-1）*a=e；

则称G对代数运算*做成一个群。

一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：

（1）封闭性

若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;

（2）结合律成立

任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);

（3）单位元存在

存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;

（4）逆元存在

任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.

通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.

若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

定义运算

对于g∈G，对于G的子集H，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg.

对于G的子集A，B，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB.

群的替换定理

G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G.

定义记法

G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}

子群的定义

如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。

这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：

HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群

历史

群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，1811~1832年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之后柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)，阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也对群论作出了发展。

最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程,它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。

在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类,即f=ax^2+2bxy+cy^2,其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且D=b^2-aс为固定值，对于两个型的"复合"乘法,构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。

在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，M.S.李开始研究连续变换群即解析变换李群,用来阐明微分方程的解,并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。

A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。

在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版,颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来,有限群论取得了巨大的进展,1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。

时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。

今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。

在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。

另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。

在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。

在许多研究群论的数学家眼中，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，群论研究表明，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题了。

群的例子

全体整数的加法构成一个群

全体非零实数的乘法构成一个群

对三个互不相同的有序对象的6种不同顺序间的改变（包括不变的情况）构成一个六阶的群（这是一个有限的置换群的例子） ,它由此被标记为S3