[编辑] 证明([编辑] 多边形 [编辑] 三角形)

[编辑] 推广

[编辑] 定理提出者

皮克定理

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给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积A和内部格点数目i、边上格点数目b的关系：A = i + b/2 - 1。

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1 证明 1.1 多边形 1.2 三角形 1.2.1 矩形 1.2.2 直角三角形 2 推广 3 定理提出者 4 参考

[编辑] 证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

[编辑] 多边形

设P和T的共同边上有c个格点。

P的面积： iP + bP/2 - 1 T的面积： iT + bT/2 - 1 PT的面积： (iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c + 2 ) /2 - 1 = iPT + bPT/2 - 1

[编辑] 三角形

证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

所有平行于轴线的矩形； 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形； 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。 [编辑] 矩形设矩形R长边短边各有m,n个格点：

AR = (m-1)(n-1) iR = (m-2)(n-2) bR = 2(m+n)-4 iR + bR/2 - 1 = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1 = mn - (m + n) +1 = (m-1)(n-1) [编辑] 直角三角形易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且i,b相等。设其斜边上有c个格点。

b = m+n+c-3 i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 i + b/2 - 1 = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1 = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2 = (m-1)(n-1)/2

[编辑] 推广

取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点，皮克定理则是A = 2i + b - 2。 对于非简单的多边形P，皮克定理A = i + b/2 - χ(P)，其中χ(P)表示P的欧拉特征数。 高维推广：Ehrhart多项式；一维：植树问题。 皮克定理和欧拉公式（V-E+F=2）等价。

[编辑] 定理提出者

Georg Alexander Pick，1859年生于维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。