DMRG 的起源

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密度矩阵重整化群 (Density Matrix Renormalization Group)，简称DMRG，是一种数值算法，于西元1992年由美国物理学家史提芬˙怀特提出[1]。 密度矩阵重整化群是用来计算量子多体系统（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一个非常精准的数值算法，在一维或准一维的系统可以得到系统尺寸很大且很准确的计算结果，但是在二维的量子多体系统中却很难达到所需要的精确度。目前此算法仍无法计算三维的量子系统。

DMRG 的起源

从数值计算的角度来看，量子多体物理主要的困难之处就在于系统的希尔伯特空间维度随着系统的尺寸呈指数成长，例如，一个由N个自旋1/2的粒子所组成的一维晶格系统其希尔伯特空间维度大小为 2^N。 传统的解决方法有两种：

基于Lanczos算法的精确对角化法，只求出系统的低能状态。这种方法只能处理很小的系统。基于数值重整化群（Numerical Renormalization Group，简称NRG）的重整化方法，可以计算很大的系统。重整化的一般思想是：减少系统的自由度，并在这个缩减的空间中，通过特定的重整化技巧，在迭代过程中保持系统的自由度数不变，并使约化系统最终收敛到真正系统的低能态中。然而，NRG一般只适用在杂质系统中，当演算一般的格点系统，如赫巴德模型（Hubbard model）时，往往出现很大的误差。 史提芬˙怀特最先意识到，NRG在演算Hubbard模型中的失败，是由于在NRG的迭代过程中忽略了环境对系统的影响，这是一个边界条件问题。换句话说，NRG的重整化方法——只保留低能量本征态——并不能正确得出下一次迭代时的低能状态。

DMRG的重整化方法不同于NRG。DMRG在重整化前，把整个系统视为两个部分，一部份为系统，一部份为环境，而系统和环境的整体称为超块。接着，计算超块的基态，有了基态之后便计算约化密度矩阵，然后对角化这个约化密度矩阵，选出拥有较大的本征值的本征态。这些拥有较大的本征值的本征态正是基态性质最重要的态，然后根据此标准对系统部份做重整化。

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实际实行DMRG是一个很冗长的工作，一些主要常用的计算手段如下：

为了得到超块的基态，通常利用Lanczos 算法或Jacobi-Davidson 算法来对角化超块的哈密顿算符。另一个选择是Arnoldi 方法，特别是在处理非厄米矩阵。一般的情况下，Lanczos 算法需要一个初始的随机向量。通过若干次迭代后，该向量收敛到基态。这说明算法的计算速度跟向量迭代到基态的次数有关。显然，如果能找出一个跟基态非常接近的向量做初始的随机向量，Lanczos 算法的效率必然大大提高。史提芬˙怀特在西元1996年提出：透过波函数转换可将目前这次计算得到的基态，作为下一次Lanczos 算法的初始向量。[2] 如此一来便加速对角化超块的哈密顿算符所花的时间。 Lanczos 算法中需要做被对角化矩阵和向量的乘积计算。该被对角化的矩阵往往非常大，直接列出该矩阵和做矩阵向量乘积会严重降低Lanczos 算法效率。当该被对角化矩阵可以拆分为几个小矩阵的直积之和时（DMRG所计算的格点系统往往有这种性质），可以无需直接写出该矩阵而完成整个Lanczos 算法。[3] 在有对称性的系统中有一些守恒的量子数，例如海森堡模型中的总自旋及其z轴份量。若是已知基态的量子数则可针对系统的希尔伯特空间特定的量子数的子空间进行对角化。 如缺少上述的一些计算手段，DMRG可能难以完成对实际物理模型的演算。

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DMRG 已经成功的在许多不同的一维模型上计算低能态的一些性质，如易辛模型，海森保模型等自旋模型，费米子系统如 Hubbard 模型 ，杂质系统如近藤效应，玻色子系统，混合玻色子与费米子的系统。随着现代电脑硬件技术的进步，DMRG应用在二维系统上可行性愈来愈高，目前一般的作法是将二维系统视为一个多腿的梯子，再将梯子的长度拉长。2009年发表在《Physical Review B》的一篇文章中，利用 DMRG 探讨二维三角晶格中玻色子的超固相，就是 DMRG 应用在二维晶格系统上的一个很好的例子，其中作者使用周期边界条件，每个晶格点上保留两个状态（即所谓硬核），每个区块最高保留 m=4096 个状态，得到截断误差小于 10-5，系统大小最高到达 9 x 18。另一个例子同样是2009年发表在《Physical Review B》的另一篇文章[5]，利用 DMRG 探讨二维 t-t'-J 模形中条纹相与电子配对，其中作者运用一边周期边界条件，另一边开放边界条件，每个区块最高保留 m=6000 个状态来完成所须计算，系统大小最高到达 12 x 8。