焦点弦概念(定义 焦点弦简述 焦点弦特点 研究对象 椭圆焦点弦公式 双曲线焦点弦公式 抛物线焦点弦公式 抛物线焦点弦的其他结论)

性质应用(研究对象 应用性质 相关展示性质 证明举例)

例子(⑴ 求双曲线 什么是二次曲线的极线？)

焦点弦概念

定义

焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦.

焦点弦简述

数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。

焦点弦特点

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)，因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况!即垂直于x轴!)

研究对象

圆锥曲线方程。

椭圆焦点弦公式

2ab^2/(b^2+c^2sin^2a)

双曲线焦点弦公式

2ab^2/lb^2-c^2sin^2al

抛物线焦点弦公式

p/2+x

抛物线焦点弦的其他结论

①弦长公式

②若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin平方α

③y2=2px或y2=-2px时，x1x2=p2/4,y1y2=-p2

x2=2py或x2=-2py时，y1y2=p2/4,x1x2=-p2

性质应用

研究对象

圆锥曲线方程。圆锥曲线焦点弦的性质及其

应用性质

⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，设 =q，则 是焦准距， 是离心率。⑵过双曲线(a>0,b>0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，设 =q。若A、B两点在双曲线的同一支上（此时称AB为双曲线的同支焦点弦），则 ，其中 是焦准距；若A、B两点分别位于双曲线的左支和右支上（此时称AB为双曲线的异支焦点弦），则 是焦准距， 是离心率。（抛物线的类似性质，本文从略）

相关展示性质⑴过椭圆 焦点F的直线交椭圆于A、B两点，设 =q，则 是焦准距， 是离心率。

⑵过双曲线(a>0,b>0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，设 =q。若A、B两点在双曲线的同一支上（此时称AB为双曲线的同支焦点弦），则 ，其中 是焦准距；若A、B两点分别位于双曲线的左支和右支上（此时称AB为双曲线的异支焦点弦），则 是焦准距， 是离心率。（抛物线的类似性质，本文从略）

相关展示性质

⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，设 =q，则 是焦准距， 是离心率。

⑵过双曲线

(a>0,b>0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，设 =q。若A、B两点在双曲线的同一支上（此时称AB为双曲线的同支焦点弦），则 ，其中 是焦准距；若A、B两点分别位于双曲线的左支和右支上（此时称AB为双曲线的异支焦点弦），则 是焦准距， 是离心率。（抛物线的类似性质，本文从略）

证明举例

（只证性质⑴,性质⑵的证明从略）由对称性，不妨取F为右焦点。设右准线l与x轴交于点D，过A作AG⊥l于G，过B作BH⊥l于点H，则AG∥FD∥BH；且由椭圆的第二定义知，|AG|= ，|BH|= 。令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|= 。故由 ， = 可得：。∴ 。因此，m+n= ? 。∴ ，从而 就是焦准距。证毕。

[说明] ①在上述证明过程中出现的“m = n”， “即|FE|=|ED|”，亦即 E为线段FD的中点（如图1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。双曲线与抛物线也有这一性质。

②如图1，若设∠AFD= ，并分别过A、F作FD和BH的垂线，则可证： 从而得焦点弦长公式：|AB|= = 就是焦准距 。在双曲线与抛物线中也有这样的公式，如：在双曲线 (a>0,b>0)中，若焦点弦AB的倾斜角为 ，则 ， ；从而焦点弦长 为焦准距， 是离心率， 且 。③如图1，若分别连接AD和BD，利用说明①的结论，则易证：∠ADF=∠BDF，即x轴平分∠ADB。在双曲线与抛物线中也有这样的结论。

例1 （07年全国(Ⅰ)高考（理）题)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。

(Ⅰ)设P点的坐标为（x0，y0），证明： ；

(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。

分析：(Ⅰ)略。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC⊥BD的垂足P在椭圆的内部，因此，（画草图）四边形ABCD的面积S= 。

设直线AC的倾斜角为 ，则由本文性质的说明②可得：|AC|= ；而AC⊥BD，∴|BD|= 。从而S= 。

由均值不等式可得： ≤ 。

∴S≥ ，当且仅当 =45°或135°时取等号——问题获解。

例2 ⑴ 求双曲线 同支焦点弦的弦长的最小值；

⑵ 求双曲线 异支焦点弦的弦长的最小值。

解 ⑴由对称性（如图2），不妨设同支焦点弦 AB经过右焦点F(c, 0) ，且设 = n，

则由本文性质⑴知： ，即 。 而mn≤ , ∴ ≥ 。 因此 ≥ ，即 ≥ 。 故|AB|=m+n≥ ，其中当且仅当m=n时取等号；即焦点弦AB垂直于实轴时，同支焦点弦的弦长取到最小值 。

⑵设异支焦点弦CD的倾斜角为 ，则由本文性质的说明②可得： 。易知当且仅当 时取|CD|最小值2a。 （注：运用“数形结合”思想，也易从图2中推出|CD|≥2a）。 如果抛物线两条切线的交点在准线上，则切点弦必为焦点弦。 本文即在于用二次曲线的极线理论对这一性质作进一步的推广，得出一些更一般的结论（即本文末的定理5和定理6）。

例子

⑴ 求双曲线

同支焦点弦的弦长的最小值；

⑵ 求双曲线 异支焦点弦的弦长的最小值。

解 ⑴由对称性（如图2），不妨设同支焦点弦

AB经过右焦点F(c, 0) ，且设 = n，

则由本文性质⑴知： ，即 。

而mn≤ , ∴ ≥ 。

因此 ≥ ，即 ≥ 。

故|AB|=m+n≥ ，其中当且仅当m=n时取等号；即焦点弦AB垂直于实轴时，同支焦点弦的弦长取到最小值 。

⑵设异支焦点弦CD的倾斜角为 ，则由本文性质的说明②可得： 。易知当且仅当 时取|CD|最小值2a。

（注：运用“数形结合”思想，也易从图2中推出|CD|≥2a）。

如果抛物线两条切线的交点在准线上，则切点弦必为焦点弦。

本文即在于用二次曲线的极线理论对这一性质作进一步的推广，得出一些更一般的结论（即本文末的定理5和定理6）。

什么是二次曲线的极线？

设S：Ax+2Bxy+Cy+2Dx+2Ey+F=0为常态二次曲线，P(x0,y0)为不在S上的点(有心二次曲线的中心也除外，下同)，我们把直线P：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0叫做点P关于S的极线，点P则叫做直线P关于S的极点。

在这样的定义下，有心二次曲线的中心没有极线，并且

定理1 （配极理论的原则）. 若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P.

定理2 通过一点P而且与一个常态二次曲线相切的直线它的切点在点P的极线上。

定理3 椭圆、双曲线、抛物线焦点的极线是相应的准线。

定理4 如果椭圆、双曲线、抛物线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。

这是因为，焦点的极线是相应准线（定理3），又交点在准线上，准线上的点的极线就必过焦点（定理1），而定理2又告诉我们这条过焦点的极线恰好经过两切点。

由于在射影平面内，圆的焦点是圆心，准线是无穷远直线，故定理4又可推广为：

定理5 如果常态二次曲线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。

（特别：如果圆的两条切线平行，则切点弦是圆的直径）。

不言而喻，更一般还有

定理6 (1)点E是常态二次曲线内部一点，但不是有心二次曲线的中心，如果该曲线的两条切线的交点在点E的极线上，则过切点的直线必过点E.

(2)如果有心二次曲线的两条切线平行，则过切点的直线必过中心点。