综述(证明过程)

辅助角公式的应用

特殊的辅助角公式

应用辅助角公式的函数特征

综述

对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2)

∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b)) 这里申明b必须为正！

这就是辅助角公式。

设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=a/b)

证明过程

设acosA+bsinA=xsin(A+M)

∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA)

由题，（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x

∴x=√(a^2+b^2)

∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a (a,b)由其所在象限确定。

辅助角公式的应用

例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值

设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k

∴√[1+(-2k)^2]sin(θ+α)=√5k

平方得k^2=sin^2(θ+α)/[5-4sin^2(θ+α)]

令t=sin^2(θ+α) t∈[0,1]

则k^2=t/(5-4t)=1/(5/t-4)

当t=1时 有kmax=1

辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化

特殊的辅助角公式

利用sin30=(1/2),cos30=（√3/2），sin60=(√3/2），cos60=（1/2），sin45=(√2/2），cos 45=(√2/2）等进行计算。

如 求sinx+cosx的最大值和最小值

sinx+cosx=√2×sin(x+45)

当 x=45 +360k（k为整数）时 sinx+cosx 最大为√2

当 x=225+360k（k为整数）时 sinx+cosx 最小为-√2

应用辅助角公式的函数特征

f(A)=asinA+bcosA=√a^2+b^2(asinA/√a^2+b^2+bcosA/√a^2+b^2)

=√a^2+b^2(cosMsinA+sinMcosA)

=(√a^2+b^2)sin(A+M)

f(A)max=√a^2+b^2

f(A)min=-√a^2+b^2

其中cosM=b/√a^2+b^2

sinM=a/√a^2+b^2