在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

从切线到微分(当自变量为固定值 当自变量为任意值 从二次函数到幂函数 从幂函数到单项式)

一元微分(定义 推导 几何意义)

多元微分

高次微分

基本法则(单项式 多项式)

所有运算法则(基本法则 连锁律 乘法律 除法律)

三角函数的导数(正弦函数的导数 余弦函数的导数 正切函数的导数 三角函数的应用1 三角函数的应用2)

与e相关函数的导数(自然指数函数的导数 自然指数函数的应用 自然对数函数的导数 自然对数函数的应用)

所有特殊函数的导数(三角函数 自然指数函数 自然对数函数)

微分的应用(法线 增函数与减函数 变化的速率)

从切线到微分

当自变量为固定值

需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。

以y=x^2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，我们可以假设在y=x^2上有另一点(3+△x,9+△y)，画一条过这两点的直线，该直线的斜率为△y/△x。我们知道，这两点之间的距离越短，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。

当x=3+△x时，y=9+△y，也就是说，

(3+△x)^2=9+△y

9+6△x+(△x)^2=9+△y （展开）

6△x+(△x)^2=△y （两边减去9）

y/△x=6+△x （两边除以△x）

∵lim△x→0 m=△y/△x {m为曲线在（3，9）上的斜率，△y/△x 为直线斜率 }

∴lim△x→0 m=6+△x=6

我们得出，y=x^2在点(3,9)处的斜率为6。

当自变量为任意值

在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率，如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差，我们现在仍以y=x^2为例，计算图象上任意一点的斜率m。

假设该点为(x,y)，做对照的另一点为(x+△x,y+△y)，我们按上面的方法再计算一遍：

(x+△x)^2=y+△y

x^2+2x△x+(△x)^2=y+△y （展开）

2x△x+(△x)^2=△y （y=x^2，两边减去y）

y/△x=2x+△x （两边除以△x）

∵lim△x→0 m=△y/△x

∴lim△x→0 m=2x+△x=2x

我们得出，y=x^2在点(x,y)处的斜率为2x。

从二次函数到幂函数

通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率，但是这远远不够。我们需要把这种方法扩充到所有的幂函数。现在假设有函数y=x^n，假设函数上有一点(x,y)和另一点(x+△x,y+△y)，我们可以这样计算斜率：

(x+△x)^n=y+△y

x^n+nx^(n-1)(△x)+...+nx(△x)^(n-1)+(△x)^n=y+△y （二项展开式）

nx^(n-1)(△x)+...+nx(△x)^(n-1)+(△x)^n=△y （y=x^n）

y/△x=nx^(n-1)+...+nx(△x)^(n-2)+(△x)^n （两边除以△x）

lim△x→0 △y/△x=lim△x→0 [nx^(n-1)+...+nx(△x)^(n-2)+(△x)^n] （加上极限）

lim△x→0 △y/△x=nx^(n-1) （其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）

我们得出，y=x^n在点(x,y)处的斜率为nx^(n-1)。

从幂函数到单项式

我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数y=ax^n的斜率，依然假设有两点(x,y)和(x+△x,y+△y)：

a(x+△x)^n=y+△y

ax^n+anx^(n-1)(△x)+...+anx(△x)^(n-1)+a(△x)^n=y+△y （二项展开式）

anx^(n-1)(△x)+...+anx(△x)^(n-1)+a(△x)^n=△y （y=x^n）

y/△x=anx^(n-1)+...+anx(△x)^(n-2)+a(△x)^n （两边除以△x）

lim△x→0 △y/△x=lim△x→0 [anx^(n-1)+...+anx(△x)^(n-2)+a(△x)^n] （加上极限）

lim△x→0 △y/△x=anx^(n-1) （其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）

我们得出，y=ax^n在点(x,y)处的斜率为anx^(n-1)。

这就是微分的基本公式，“基本法则”目录有详细的说明。

lim△x→0 △y/△x=m被记作dy/dx=m。

一元微分

定义

设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

推导

设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x的常数， 是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。 叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy= 。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为： 还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为

几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

多元微分

同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。

高次微分

我们对函数y进行微分，得出导数dy/dx，由于微分只进行了一次，所以dy/dx又被称为一次导数。

这是我们微分dy/dx，得出d/dx(dy/dx)=(d^2)y/dx^2，那么(d^2)y/dx^2被称为二次导数。

同理，我们可以得到三次导数及更高次的导数，(d^n)y/dx^n被称为n次导数。

基本法则

单项式

当函数为单项式y=ax^n（a和n为常数）的形式时，有基本公式：

dy/dx=anx^(n-1)或d/dx(ax^n)=anx^(n-1)

如d（x^2）/dx=2x，d(3X^5)/dx=15x^4。

当a为常数时，d(ax)/dx=a且d(a)/dx=0。

注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。

多项式

当函数为几个ax^n形式的单项式的和或差时，这个函数的导数只需在原函数的导数上进行加减即可。

以函数y=ax^m+bx^n为例，将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。

可以得出du/dx=amx^(m-1)，dv/dx=bnx^(n-1)。

∵y=u+v

∴δy=δu+δv

∴δy/δx=δu/δx+δv/δx

∴dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^(m-1)+bnx^(n-1)

∴d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1)

同理可以得出d/dx(ax^m-bx^n)=amx^(m-1)-bnx^(n-1)

最后得出公式：

d/dx(ax^m±bx^n)=amx^(m-1)±bnx^(n-1)

有了这两个公式，我们可以对大部分常见的初等函数求导。

注意：f'(x)是函数f(x)的导数。

所有运算法则

基本法则

dy/dx=d/dx[f(x)]=f'(x)

d/dx(ax^n)=anx^(n-1)

d/dx(ax)=a

d/dx(a)=0

d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1)

连锁律

dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) （微分连锁律）

d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)

d/dx[(ax+b)^n]=an(ax+b)^(n-1)

d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)

乘法律

d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx) （微分乘法律）

d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]

d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)

d/dx(ay)=a(dy/dx)

除法律

d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) （微分除法律）

d/dx{[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]}=[(a-b)mpx+(amq-bnp)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1)

d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v)

d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)

三角函数的导数

正弦函数的导数

假设正弦函数y=sin x（x的单位为弧度）上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy)：

d/dx(sin x)

=limδx→0 δy/δx

=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx

=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （两边除以2）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx

=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）

=cos x

最后得出d/dx(sin x)=cos x。

余弦函数的导数

我们知道cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。

假设π/2-x=u，我们可以用连锁律对余弦函数y=cos x求导：

d/dx(cos x)

=d/dx[sin (π/2-x)]

=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) （连锁律）

=cos (π/2-x)×(-1) （d/dx(sin x)=cos x）

=-cos (π/2-x)

=-sin x （cos (π/2-x)=sin x）

最后得出d/dx(cos x)=-sin x。

正切函数的导数

由于正切函数tan x=(sin x)/(cos x)，我们可以用除法律对其求导：

d/dx(tan x)

=d/dx[(sin x)/(cos x)] （tan x=(sin x)/(cos x)）

=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) （除法律）

=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x

=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x

=1/cos^2 x

=sec^2 x

最后得出d/dx(tan x)=sec^2 x。

三角函数的应用1

当我们遇到y=sin/cos/tan u（u是自变量为x的函数且常为ax+b的形式）这类函数的时候，可以使用连锁律求导：

①y=sin u

d/dx(sin u)

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=(cos u)(du/dx)

当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：

d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]

②y=cos u

d/dx(cos u)

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=(-sin u)(du/dx)

当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：

d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]

③y=tan u

d/dx(tan u)

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=(sec^2 u)(du/dx)

当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：

d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ac+b)]

三角函数的应用2

有时我们需要对y=sin^n x或y=cos^n x（n为常数）这类函数求导，使用连锁律也可以解决：

这里我们使用“连锁律的应用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)

①y=sin^n x

dy/dx

=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)

=n[sin^(n-1) x](cos x)

②y=cos^n x

dy/dx

=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)

=-n[cos^(n-1) x](sin x)

得出公式：

d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)

d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

与e相关函数的导数

自然指数函数的导数

在画图软件里，我们可以看出在函数y=e^x上任意一点(x,y)的斜率均等于y。也就是说，m=dy/dx=y。

因此，函数e^x的导数由以下公式获得（在此省略正式证明）：

d/dx(e^x)=e^x

自然指数函数的应用

我们可以使用连锁律对y=e^u（u是自变量为x的函数）求导：

dy/dx

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=[d/du(e^u)](du/dx)

=(e^u)(du/dx)

最后得出：

d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)

如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：

d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)

自然对数函数的导数

我们可以通过d/dx(e^x)=e^x对自然对数函数y=ln x求导：

y=ln x

x=e^y

d/dx(x)=d/dx(e^y)

d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) （连锁律）

d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)

(e^y)(dy/dx)=1

x(dy/dx)=1 （x=e^y）

dy/dx=1/x

最后得出：

d/dx(ln x)=1/x

自然对数函数的应用

我们可以使用连锁律对y=ln u（u是自变量为x的函数）求导：

dy/dx

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=[d/du(ln u)](du/dx)

=(1/u)(du/dx)

可以得出：

d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)

如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：

d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)

所有特殊函数的导数

三角函数

d/dx(sin x)=cos x

d/dx(cos x)=-sin x

d/dx(tan x)=sec^2 x

d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]

d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]

d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ac+b)]

d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)

d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

自然指数函数

d/dx(e^x)=e^x

d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)

d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)

自然对数函数

d/dx(ln x)=1/x

d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)

d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)

微分的应用

法线

我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：

m=dy/dx在(x1,y1)的值

所以该切线的方程式为：

y-y1=m(x-x1)

由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：

y-y1=(-1/m)(x-x1)

增函数与减函数

微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。

我们知道函数y=x^2-1 (x>0)是增函数，我们用微分证明它：

∵y=x^2-1

∴dy/dx=2x

当x>0时，dy/dx>0，这说明dy/dx始终为正，所以函数y=x^2-1(x>0)是增函数。

再举一个例子，我们知道函数y=1/(x+1) (x>0)是减函数，我们用微分证明它：

∵y=1/(x+1)=(x+1)^(-1)

∴dy/dx=(-1)(x+1)^(-2)=-1/(x+1)^2

由于(x+1)^2>0，dy/dx<0，这说明dy/dx始终为负，所以函数y=1/(x+1) (x>0)是减函数。

变化的速率

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，

在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。