斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义．在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长．近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、X^2分布证之。

斯特林公式的形式

证明

斯特林公式的形式

或更精确的

证明

令a(n)=n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]

则a(n) / a(n+1) = (n+1)^(n+3/2) / [ n^(n+1/2) * (n+1) * e ]

=(n+1)^(n+1/2) / [ n^(n+1/2) * e]

=(1+1/n)^n * (1+1/n)^1/2 *1/e

所以a(n) / a(n+1)<1即a(n) < a(n+1)，有由积分放缩法有lnn！<（n+1/2）lnn-n+1

即n！< e*n^(n+1/2) * e^(-n)即a（n）<e

由单调有界定理a（n)的极限存在，

设A=lim(n→∞)a(n)

A=lim(n→∞)n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]

利用Wallis公式,π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)

π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)

=lim(n→∞)[ (2n)!! * (2n)!! / (2n)! ]^2 / (2n+1)

=lim(n→∞) 2^(4n) [ (n!)^2 / (2n)! ]^2 / (2n+1)

=lim(n→∞) 2^(4n) [ (A * n^(n+1/2) * e^(-n) )^2 / (A * (2n)^(2n+1/2) * e^(-2n) )]^2 / (2n+1)

=lim(n→∞) 2^(4n) [ 2^(-2n-1/2) * A * √n ]^2 / (2n+1)

=lim(n→∞) 2^(4n) * A^2 * 2^(-4n-1) * n/(2n+1)

=A^2 / 4

所以A=√(2π)

lim(n→∞)n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ] = √(2π)

即lim(n→∞) √(2πn) * n^n * e^(-n) / n! = 1