简介(定义 例子 其他解释)

联结词的完备集

简介

定义

在逻辑中，真值函数是从语言的句子生成的函数。

它采用来自 {T,F} (就是真实和虚假)的真值。例如句子 A → B 生成真值函数 h(A,B)，它的真值是 F，当且仅当 A 的值是 T 而 B 的值是 F。n 个变量的命题句子生成 2^{2^n} 个真值函数。比如，如果有像 A → (B → A) 这样的 2 个变量的命题则有 16 个生成的真值函数。

陈述或命题被称为是真值泛函的，如果它的真值由它的部件的真值来决定。

例子

比如，“在2004年4月20日保罗·马丁是加拿大首相”是真的，“在2004年4月20日乔治·沃克·布什是美国总统”也是真的，所以合取：“在2004年4月20日保罗·马丁是加拿大首相 与 乔治·沃克·布什是美国总统”

是真的。在这个句子中，“与”充当真值函数。

相反的，在“在2004年4月20日阿尔·戈尔是美国总统”和“布兰妮·斯皮尔斯相信在2004年4月20日阿尔·戈尔是美国总统”。知道前者不是真的和后者的真值之间没有关系：布兰妮·斯皮尔斯相信阿尔·戈尔是总统这个命题的真值，不是由阿尔·戈尔在那天不是总统的事实来决定的。 所以，词语“相信”不是真值函数。

其他解释

用更加数学化的术语，真值函数是一种布尔函数，并使用布尔变量来持有真值函数的结果是计算机科学的普遍实践。确定句子的真值是逻辑和数学二者的基本活动；作为结果，真值函数在与逻辑和数学基础有关的著作中经常讨论。

简单真值函数如 AND、NOT 等可以用真值表确定。更复杂的真值函数可能需要重要的计算。

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一、n元真值函数 ｎ元函数就是有ｎ个自变量的函数。 ｎ元真值函数就是自变量和函数值都是真值（即０或１）的函数。一元真值函数有四个，如表2.5

表2.5　１元真值函数

二元真值函数有16个，如表2.6

表2.6　2元真值函数

一般地，n元真值函数共有多少个呢？

每个自变量有2个取值方式，n个自变量共有2 个不同取值方式。对n个自变量的每个取值方式，函数值有2个取值方式，即为0或1，故n元真值函数共有个。

例如，3元真值函数共有=256个。

一般地，函数F:{0,1}→{0,1}称为n元真值函数，其中：{0,1}为{0，1}的卡氏积。