奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广。在信号处理、统计学等领域有重要应用。

基本介绍

理论描述

基本介绍

奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

理论描述

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域 K，也就是 实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。

常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。)

直观的解释在矩阵M的奇异值分解中

V的列(columns)组成一套对的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是 的特征向量。

U的列(columns)组成一套对的正交"输出"的基向量。这些向量是 的特征向量。

Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是 及 的奇异值，并与U和V的行向量相对应。

奇异值和奇异向量, 以及他们与奇异值分解的关系

一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km 的单位向量u和Kn的单位向量v如下 ：

其中向量u 和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。

对于任意的奇异值分解

矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值. U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此,上述定理表明:

一个m × n的矩阵至少有一个最多有 p = min(m,n)个不同的奇异值。

总是可以找到在Km 的一个正交基U，组成M的左奇异向量。

总是可以找到和Kn的一个正交基V，组成M的右奇异向量。

如果一个奇异值中可以找到两个左（或右）奇异向量是线性相关的，则称为退化。

非退化的奇异值具有唯一的左、右奇异向量，取决于所乘的单位相位因子eiφ（根据实际信号）。因此，如果M的所有奇异值都是非退化且非零，则它的奇异值分解是唯一的，因为U中的一列要乘以一个单位相位因子且同时V中相应的列也要乘以同一个相位因子。

根据定义，退化的奇异值具有不唯一的奇异向量。因为，如果u1和u2为奇异值σ的两个左奇异向量，则两个向量的任意规范线性组合也是奇异值σ一个左奇异向量，类似的，右奇异向量也具有相同的性质。因此，如果M 具有退化的奇异值，则它的奇异值分解是不唯一的。

与特征值分解的联系

几何意义

因为U 和V 向量都是单位化的向量, 我们知道U的列向量u1,...,um组成了Km空间的一组标准正交基。同样，V的列向量v1,...,vn也组成了Kn空间的一组标准正交基(根据向量空间的标准点积法则).

线性变换T: Kn → Km，把向量x变换为Mx。考虑到这些标准正交基，这个变换描述起来就很简单了: T(vi) = σi ui, for i = 1,...,min(m,n), 其中σi 是对角阵Σ中的第i个元素; 当i > min(m,n)时，T(vi) = 0。

这样，SVD理论的几何意义就可以做如下的归纳：对于每一个线性映射T: Kn → Km，T把Kn的第i个基向量映射为Km的第i个基向量的非负倍数,然后将余下的基向量映射为零向量。对照这些基向量，映射T就可以表示为一个非负对角阵。

简化的 SVD

范数

1. 矩阵范数的概念 设A∈Cm×n，定义一个实值函数||A||，若满足：

(1) 非负性：||A||≥0，且||A||=0当且仅当A=0； (2) 齐次性：||aA||=|a| ||A||，a∈C； (3) 三角不等式：||A+B||≤||A||+||B||，A,B∈ Cm×n; (4) 相容性：||AB||≤||A|| ||B||

则称||A||为A的矩阵范数。 例1 设A=(aij)∈Cn×n，则

都是

定理2：由向量的1-范数、2-范数和∞-范数分别诱导出的矩阵范数分别是

通常依次称为列和范数、谱范数和行和范数。

定理3：谱范数和F-范数都是酉不变范数，即对于任意酉矩阵P和Q，有||PAQ||=||A||。

应用

求伪逆

奇异值分解可以被用来计算矩阵的伪逆。若矩阵 M 的奇异值分解为 ，那么 M 的伪逆为

其中 Σ+ 是将Σ转置，并将其主对角线上每个非零元素都求倒数得到的。求伪逆通常可以用来求解线性最小平方问题。

平行奇异值模型

把频率选择性衰落信道进行分解.

值域、零空间和秩

矩阵近似值

奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA），它是一种数据分析方法，用来找出大量数据中所隐含的“模式”,它可以用在模式识别，数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。 数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量张成空间为降维后的空间。

计算 SVD

matlab： [b c d]=svd(A) OpenCV: void cvSVD( CvArr* A, CvArr* W, CvArr* U=NULL, CvArr* V=NULL, int flags=0 )