莫比乌斯函数的定义

莫比乌斯函数与其他(与梅滕斯函数 与生成函数 与无穷级数)

莫比乌斯函数，数论函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯(August Ferdinand Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号。而据说，高斯(Gauss)比莫比乌斯早三十年就曾考虑过这个函数。莫比乌斯函数在数论中有着广泛应用。

莫比乌斯函数的定义

莫比乌斯函数(En:Möbius function De:Möbiusfunktion)是指以下的函数：

<math>\\mu (n) = </math>

1，假若n=1

<math>(-1)^k</math>假若n为无平方数因数的数，且<math>n = p_1 p_2 ...... p_k</math>

0，其他状况

莫比乌斯函数是一个数论函数，它是一个积性函数

另一方面，<math>\\sum_{d|n} \\mu (d) =</math>

1，当n=1时

0，其他状况

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：

1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N

2）μ(1)=1

3）当n存在平方因子时，μ(n)=0

4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1

5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

莫比乌斯函数与其他

与梅滕斯函数

莫比乌斯函数的求和函数，被称为梅滕斯函数。

与生成函数

莫比乌斯函数有多个生成函数，其中一个与黎曼的ζ(s)有关

}

}

}

这个式子可由欧拉积公式展开得到

}

}

}

莫比乌斯函数的另一个生成函数如下

其中 |x|<1

与无穷级数

以下是关于莫比乌斯函数的一些无穷级数：

}

}

}

}

}

}

}

}

}

}

}

}