| 词条 | 狄利克雷L函数 |
| 释义 | § 狄利克雷L函数 在数学中，狄利克雷L函数是狄利克雷级数的特例，它是形如下式的复变量函数 复变量函数 在此 χ 是一个狄利克雷特征， S∈￠的实部大于一。此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。 约翰·彼得·狄利克雷证明对所有 χ 俱有L （1，X)≠0，并借此证明狄利克雷定理。若 χ 是主特征，则 L(s,χ) 在 s = 1 有单极点。 § 正文 又称对应于模q的特征ⅹ(n)的狄利克雷L函数, 即函数，其中q≥1,ⅹ(n)是模q的一个特征,复变数s=σ+it,σ>1。它在q=1时就是黎曼ζ函数。这类函数最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算术级数中的素数分布问题时引进的。它的性质和作用,都与黎曼ζ函数类似，在许多数论问题中有重要应用。它的主要性质有： ① 当σ>1时，，式中表示对全体素数求积。因而L(s,ⅹ)≠0 (σ>1)。 ② 当ⅹ0是模q的主特征时， 于是，通过ζ(s)就把L(s,ⅹ0)解析开拓到全平面。 ③ 当ⅹ是模q的非主特征时,一定存在惟一的一个模q*，使当σ>1时，有 ④ 当ⅹ是模q的原特征时,L(s,ⅹ)可解析开拓为整函数，且满足函数方程 ，式中τ(ⅹ)为仅与ⅹ有关的常数，且满足塣表ⅹ的共轭特征,即 ⑤ 对任意的模q的特征ⅹ，有L(1,ⅹ)≠0。 ⑥设ⅹ是模q的原特征，那么s=-(2n+α(ⅹ))(n =0,1,2,…)是L(s,ⅹ)的一级零点,称为“无聊零点”；L(s,ⅹ)可能有的其他零点（称为“非无聊零点”）一定都位于带形区域0≤σ≤1中;L(s,ⅹ)确有无穷多个非无聊零点。 ⑦ 设T >0，以N(T，ⅹ)表 L(s,ⅹ)在区域0≤σ≤1，｜t｜≤T 中的零点个数。因此，当ⅹ 是模q的原特征和T≥2时，有 ⑧ 设T>0,，以N(α，T，ⅹ)表L(s，ⅹ)在区域α≤σ≤1,｜t｜≤T中的零点个数。再设，其中Σ表对模q的所有特征求和。因此，当 T≥2时，有。此结果已被改进和推广，通常称之为 L函数的零点密度定理。 ⑨ 在直线σ=1上，L(s,ⅹ)≠0。由此，对任意固定的q，可推出算术级数中的素数定理。 ⑩ 存在绝对正常数X1，使得对任意固定的模q,在所有的函数L(s,ⅹ)(ⅹ mod q)中,仅可能除去一个例外函数外,均在区域内无零点。如果这样的例外函数L(s,塣)存在,那么塣一定是模q 的实的非主特征，且 L(s,塣) 在上述区域内只有一个一级实零点戓 。这一性质是狄利克雷L函数与黎曼ζ函数的一个主要差别。研究对应于实特征的L函数的实零点，是L函数论的最重要问题之一。 A. 佩奇于1935年证明了：存在绝对正常数X2，使得对任意的实原特征ⅹ modq，q≥3，必有 L(1,ⅹ)≥X2q-1/2。由此可推出，存在绝对正常数X3，使得对任意的实特征 ⅹ mod q，q≥3，当 时，L(σ,ⅹ)≠0。 C.L.西格尔于1936年证明了：对任给的正数ε，存在正常数c3(ε)，使得对任意的实原特征ⅹmodq, q≥3，必有。由此推出,对任给正数ε，必有正常数 c4(ε)，使得对任意的实特征 ⅹ modq，q≥3，当时，L(σ,ⅹ)≠0。 C. L. 西格尔的结果虽然优于A. 佩奇的结果,但是常数X3(ε)和X4(ε)至今没有办法计算出来。 从性质⑩、、可推得有余项估计的算术级数中的素数定理（见素数分布）。类似于黎曼假设，有所谓广义黎曼假设,即猜测所有的狄利克雷L函数的非无聊零点都位于直线σ=1/2上，通常简记作GRH。大量的数值计算以及理论上的探讨都支持这一假设，但它至今还没有被证明或否定。从GRH可推出一系列重要的数论结果,虽然都是一些假设性的结果（其中有的已被无条件地证明了），但是却指出了研究 L函数零点的重要意义和方向。 参考书目 K.Prachar,Primzahlverteilung,Springer-Verlag, Berlin,1957. H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980. § 配图 狄利克雷 § 零点 若 χ 是原特征，χ( − 1) = 1，则 L(s,χ) 在 Re(s) < 0 的零点是负偶数。 若 χ 是原特征，χ( − 1) = − 1，则 L(s,χ) 在 Re(s) < 0 的零点是负奇数。 不论可能的西格尔零点，狄利克雷L函数有与黎曼ζ函数相似的无零点区域，包括{S：Re(s)≥1} 。一如黎曼ζ函数，狄利克雷L函数也有相应的广义黎曼猜想。 § 相关连接 |
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