词条 | 极大线性无关组 |
释义 | 基本定义定义设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组.如果 (1) α1,α2,...αr 线性无关; (2)从S中任意添加一个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关, 那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。 注解(1)只含零向量的向量组没有极大无关组。 (2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 (3)极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。 基本性质性质 1任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 性质 2一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。 性质 3若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出,则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。 相关定理定理 1设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果 (1)向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出, (2)r>s, 那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。 推论 1如果向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出,且a1,a2,…,ar线性无关,那么r≤s。 推论 2任意n+1个n维向量必线性相关。 推论 3两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量。 定理 2一向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。 定理 3一向量组线性无关的充分必要条件是,它的秩与它所含向量的个数相同。 推论 4等价的向量组必有相同的秩。 |
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