基本定义(定义 注解)

基本性质(性质 1 性质 2 性质 3)

相关定理(定理 1 推论 1 推论 2 推论 3 定理 2 定理 3 推论 4)

基本定义

定义

设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组.如果

(1) α1,α2,...αr 线性无关;

(2)从S中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关，

那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。

注解

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组。

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。

基本性质

性质 1

任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

性质 2

一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

性质 3

若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

相关定理

定理 1

设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果

（1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，

（2）r>s,

那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。

推论 1

如果向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，且a1,a2,…,ar线性无关，那么r≤s。

推论 2

任意n+1个n维向量必线性相关。

推论 3

两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量。

定理 2

一向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。

定理 3

一向量组线性无关的充分必要条件是，它的秩与它所含向量的个数相同。

推论 4

等价的向量组必有相同的秩。