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词条 非常丰富除子
释义

非常丰富除子(Very ample invertible sheaf (or line bundle, or divisor)) 也是代数几何中最重要的一类对象。

Proper(对应于复几何中的紧致性)的代数簇X上的除子L称为非常丰富除子, 如果它定义的有理映射满足以下条件:

1. 这个映射是态射, 也就是说它是处处有定义的;

2.这个映射是单射;

3.这个映射可以区分每一点上的切向量。 换句话说, 一个点上的两个不同的切向量, 在这个映射下不会映成同一切向量。

注:a) 一般的,invertible sheaf L 是非常丰富的,当且仅当存在immersion(嵌入,即开嵌入和闭嵌入的复合) f: X----> P^N (某射影空间),使得L同构于O(1)的拉回。

b)上述条件中,1等价于L是由整体截面生成的(generated by global sections);1,2,3等价于L定义的态射是闭嵌入(closed immersion)。和a)的等价性在于,proper的概形(scheme)在态射下的像是闭的。

有一个非常丰富除子的proper代数簇必定是射影代数簇,反之亦然。 这是因为相应的有理映射给出了它到射影空间的一个闭嵌入。

需要注意的是,very ample invertible sheaf是一个相对的概念(与immersion有关)。与之相对应的绝对概念是丰富除子(ample invertible sheaf)。定义是,invertible sheaf L 是概形(Scheme)X 上的ample invertible sheaf 当且仅当 任给一个X上的凝聚层(coherent sheaf)F, 存在自然数n_0,使得任何n>n_0, F tensor L^(tensor n) 是由整体截面生成的(generated by global sections)。

两者之间的关系是:L ample 当且仅当 存在充分大的n, 使得L^(tensor n)是very ample的。

例子:1. 光滑射影代数曲线上的除子 D 是ample当且且仅当 deg(D) > 0。

2. 光滑射影代数曲面上的除子 D 是ample 当且仅当 D.D>0 且 任何一条曲面上的不可约代数曲线C, D.C > 0。

3. 一个ample但不very ample的例子:椭圆曲线上对应一个点的invertible sheaf。

注意:关于invertible sheaf (秩为一的局部自由层),divisor和line bundle的等价性的讨论,可以参见Hartshore Chapter 2.5 2.6。

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更新时间:2025/3/27 5:05:05