素数是纽曼-尚克斯-威廉士素数（Newman-Shanks-Williams prime，简写为NSW素数）当且仅当它能写成以下的形式：

1981年M. Newman、D. Shanks和H. C. Williams在研究有限集合时，率先描述了NSW素数。

首几个NSW素数为7, 41, 239, 9369319, 63018038201, ...，对应指数3, 5, 7, 19, 29, ...　

上式中的S可用递归的方法定义，虽然得出来的未必是素数：

S0 = 1S1 = 1Sn = 2Sn - 1 + Sn - 2对于所有这个数列的首几项为1, 1, 3, 7, 17, 41, 99（OEIS:A001333）。这些数亦出现在以连分数表示的√2。