从理论上，阐释了一些测地线束与共轭点的基本结论。

测地线束(理论的假设与推导 推论)

共轭点(定义 存在的条件 结论)

类时测地线

类光测地线

一般性条件(定义 假定超曲面垂直对普遍性影响 对证明奇点定理的贡献)

测地线束

理论的假设与推导

在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考虑的测地线束局部正比于某个梯度场， 或者说垂直于某个超曲面， 则称该线束是超曲面垂直(hypersurface orthogonal) 的。 可以证明， 对于这样的测地线束来说， 涡旋张量 ωab 为零， 从而 Raychaudhuri 方程可以简化为：

dθ/dτ = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab

由于 σabσab 总是非负的， 因此从这个方程中我们可以得到：

dθ/dτ ≤ -RabVaVb - (1/3)θ2

如果进一步假定强能量条件成立， 即 RabVaVb 处处非负， 则上述不等式可以进一步简化为：

dθ/dτ ≤ - (1/3)θ2

对这个不等式进行积分可得：

θ-1 ≥ θ0-1+(1/3)(τ-τ0)

其中 θ0=θ(τ0)。

推论

从这个不等式我们可以得到一个重要的推论， 那就是倘若 θ0<0， 即线束在 τ=τ0 时出现汇聚效应， 则 θ 会在有限固有时间 τ-τ0≤3/|θ0| 内趋于负无穷。 可以证明， 这意味着测地线束在该处汇聚为一点， 或者说测地偏离矢量场 - 也称为 Jacobi 场 - 在该处为零。

共轭点

定义

如果一个从 p 点发出的非平凡 (即各测地线不处处重合， 或者说 Jacobi 场不处处为零) 的类时测地线束在 q 点汇聚， 我们就把 q 和 p 称为该测地线束上 (即其中每一条测地线上) 的一对共轭点(conjugate points)。

存在的条件

从上面的分析中我们看到， 如果从 p 点发出的一个类时测地线束在未来某一点上出现汇聚效应 θ<0， 则在该线束上距离 p 有限远的地方必定存在一个与 p 共轭的点 q - 当然， 这里我们要假定该测地线束可以延伸到 q 点。

显然， 在一个测地完备时空中， “测地线束可以延伸到 q 点” 这一假定是自动满足的。 因此， 对于测地完备时空来说， 上面这个结果是所有类时测地线都满足的普遍性质。 进一步的分析表明， 上述结果所要求的条件， 即在某一点上 θ<0， 可以转化为一个有关曲率张量的条件。 事实上， 从前面所得的 θ-1≥θ0-1+(1/3)(τ-τ0) 可以看到， 即便 σabσab 与 RabVaVb 处处为零， 且 θ0>0 (这是对形成 θ<0 最为不利的条件)， θ 仍将在 τ→∞ 时趋于零 (即几乎就要形成 θ<0 这一结果)。 这使人想到， 上述最为不利的条件只要在某个点上 (从而由连续性条件可知在该点的一个邻域内) 被破坏， 比如 RabVaVb>0 在某个点上成立， 就足可造成当 τ 足够大时 θ<0。 事实也的确如此， 因此某一点上 θ<0 这一条件转化为某一点上 RabVaVb>0。 如果我们进一步把 σabσab 所起的作用也考虑进去， 这一条件还可以继续减弱。

结论

最终可以得到这样一个结果： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件成立， 并且在每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 则所有类时测地线上都存在共轭点对， 简称共轭对。

类时测地线

从物理意义上讲， 每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 意味着每条类时测地线都至少会在一个时空点上遇到由物质分布或引力波所造成的某种测地偏离效应。 这一条件 - 称为类时一般性条件(timelike generic condition) - 在理论上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率张量与测地线切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所违反。 但对于具有现实物理意义的情形来说， 由于物质及引力波的分布往往足够弥散及随机， 类时一般性条件被认为是得到满足的。

类光测地线

上面这些结果都是针对类时测地线的。 不过可以证明， 除了一些不影响定性结果的差异 (比如 Raychaudhuri 方程中的数值因子 1/3 因垂直子空间维数的改变而变成 1/2， 固有时间 τ 变成仿射参数 λ， 等) 外， 类光测地线也具有类似的性质。 类光测地线所满足的一般性条件为： 每条类光测地线上至少有一个点使得 k[eRa]bc[dkf]kbkc ≠ 0。 这个条件被称为类光一般性条件 (null generic condition)。

一般性条件

定义

类时与类光一般性条件统称为一般性条件。 把类时与类光情形合在一起， 我们前面介绍的结果可以重新表述为： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件与一般性条件成立， 则每条非类空测地线上都存在共轭对。 这是一个不依赖于对称性的普遍结果， 它对于奇点定理的证明及确立奇点定理的普适性都有极其重要的作用。

假定超曲面垂直对普遍性影响

在上述结果的证明伊始我们曾经作过一个假设， 即所考虑的测地线束是超曲面垂直的。 这个假定保证了 ωab=0， 从而消除了 Raychaudhuri 方程中与其它各项符号相反 - 因而会对我们的证明造成极大干扰 - 的 ωabωab 项。那么这个假设具有多大的普遍性呢？ 或者说， 这个假设是否会使上述结果 - 进而使整个奇点定理的证明 - 失去应有的普遍性呢？ 幸运的是， 在数学上可以证明， 经过某一时空点的类时测地线束必定在该点的某个凸邻域内具有超曲面垂直性， 因此 ωab 在该邻域内必定为零。 不仅如此， 通过一个与 Raychaudhuri 方程类似的描述 ωab 沿测地线变化的方程可以证明， ωab 沿一条测地线只要在某一点上为零， 就 (沿该测地线) 处处为零。 因此， 假定测地线束为超曲面垂直不会有损结果的普遍性。

对证明奇点定理的贡献

上面的结果表明， 在一个具有适当物质分布的测地完备时空中共轭点的存在是普遍现象。 假如有一个适当的物质粒子群沿某个非类空测地线束运动， 那么当它们运动到共轭点上时， 由于测地线的汇聚， 粒子的数密度 (以及质量密度) 将趋于发散， 从而形成一个奇点。 Raychaudhuri 发表于 1955 年的原始论文就涉及了这样的情形。 不过， 在一般情况下没有理由假定存在那样的物质粒子群， 因此共轭点的存在不会直接导致奇点， 上述结果也不足以作为奇点存在性的证明 (如果一定要算证明的话， 只能算是非常弱的证明， 因为它所要求的条件太过特殊)。 但是， 这一结果为十年后 Penrose 等人的工作奠定了基础， 是证明奇点定理的第一步。 这一步所侧重的是引力理论中的动力学因素， 强能量条件的引进是这种因素的体现。