简介

三维投影(施莱格尔投影 球极投影 二维线架正投影)

施莱夫利符号

类比

二胞角

简介

正十六胞体(Hexadecachoron，16-cell)，是一个四维空间里的几何产物，正多胞体的其中一种，一般视为正八面体的四维类比。

它的施莱夫利符号为{3,3,4}，是超立方体的对偶。

其顶点图是正八面体，正16胞体每条棱上有4个正四面体。

另外，它有下列几种别名：

正四面体反棱柱(Tetrahedron antiprism)、

Tetracross（四维正轴形，没有官方中文翻译）、

4-orthoplex（即正四面体反棱柱，orthoplex和cross都指代同一个多胞体，但意义不同）、

Demitesseract（半截超立方体，指代超立方体每个面上连线得到的东东，没有官方中文翻译）

三维投影

施莱格尔投影

正八面体我们一定不陌生，但是看过右图的恐怕就不多了。

右图是当一个人对着正八面体的一个面靠近的很近的时候会看到的——准确地说眼睛是在这个正八面体的外接球面上看到的。这就是正八面体的施莱格尔投影。

可以看到这个投影中外面是一个大正三角形，里面是一个小的倒正三角形。

运用类比，把正三角形变成正四面体：一个正四面体和一个倒正四面体，再各自连上线，如右下图，这就得到了一个正十六胞体的施莱格尔投影图。细心点数的话可以数得出，该图中有16个四面体（包括最外部的那个），同时我们得到了正十六胞体的一些数据：

胞（正四面体）数：16，面（正三角形）数：32，棱数：24，顶点数：8

球极投影

二维线架正投影

和超正方体的差不多，不过要简单得多，建立一个平面上的四维投影坐标轴，写入八个点：(±1,0,0,0)(0,±1,0,0)(0,0,±1,0)(0,0,0,±1)即可，如右图

施莱夫利符号

正十六胞体16-cell的施莱夫利符号也有好几个

{3,3,4}：特指它是正多胞体Hexadecachoron，以及它是Trteacross

{3^(1,1,1)}（“1,1,1”上标）：特指它是n-orthoplex或n-demicube，即代指4-orthoplex和Demitesseract

h{4,3,3}：特指它是半截超立方体（alternated tesseract）

等等

类比

虽然说上去正十六胞体是正八面体的四维类比，但实际上正十六胞体可通过两种类比方式得到　一、正八面体的类比

利用坐标，(±1,0)(0,±1)四个点连线可以得到一个正方形，

利用坐标(±1,0,0)(0,±1,0)(0,0,±1)六个点连线可以得到一个正八面体

那么用(±1,0,0,0)(0,±1,0,0)(0,0,±1,0)(0,0,0,±1)八个点连线，就能得到这个正十六胞体

这是一种正多胞形的类比

二、正四面体的类比

将一个正方形不相邻的两点连线，得到一个正二边形（半截正方形Demisquare）

将一个立方体两两不相邻的四个点沿各自的面连线，得到一个正四面体（半截立方体Demicube）线架图

同样地，将一个超立方体两两不相邻的八个点沿各自的面连线后，则会得到正十六胞体（半截超立方体Demitesseract）的线架图

尽管正四面体、正十六胞体，但这不是一种正多胞形的类比，在五维以及更高得到的就不是正多胞形

二胞角

对于的二胞角的求导是要用到四维解析几何慢慢求的，太麻烦，不妨就用第一种类比法去求　二维正轴形是正方形，它的“二边角”（也就是夹角）是90°，用反三角函数表示就是2arctan1

三维正轴形是正八面体，它的二面角约是109.47°，用反三角函数表示就是2arctan√2

那么作为四维正轴形的正十六胞体，它的二胞角用反三角函数表示就应该是2arctan√3，即120°

整数度？很神奇吧，这就是四维空间的一大魅力所在