定义

曲线方程

旋转面的性质

定义

如右图所示;

从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。直线l为其渐近线。

曲线方程

参数方程

当渐近线l⊥x轴时，若点p的初始位置为a(a,o)，则曳物线的参数方程为：

x=acosθ；

y=aln[tan^2(θ+π4)]－asinθ

参数θ是切线pq和x轴的夹角。

普通方程

x=a·ch(y/a)。

a为切点到切线与渐近线交点的距离.

微分方程

设被拖曳直线长度为L，拖曳直线拖曳点始终在y轴上;

初始状态：拖曳点(0,0)，另一端点(1,0)；

拖曳方向：y轴正方向.

解：因在拖曳的某一个时刻，拖曳直线的方向和直线另一端点轨迹（拖曳线）的切线方向相同，设该时刻为t，可得微分方程：

d y / d x = (Y[t] - y) / (0 - x)；Y[t]为某一个时刻拖曳点的y轴坐标

因为直线长度不变，还有方程：

(Y[t] - y)^2 + (0 - x)^2 = L^2

带入微分方程得到：

d y / d x = - sqrt(L^2 - x^2) / x；初始状态值y(L)=0

解得曳物线方程：

y = -sqrt(L^2 - x^2) + L ln(L) - L ln(L^2) - L ln(x) + L ln(L^2 + L sqrt(L^2 - x^2))

旋转面的性质

由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。这种曲面的全曲率在每一点都是常数且是负的。位于此曲面上的直线与平行公设不一致。因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。