| 词条 | 拓扑线性空间 |
| 释义 | § 拓扑线性空间 泛函分析早期所研究的空间大都是赋范线性的。但到了30年代初，人们已经充分地认识到，无论从巴拿赫空间理论本身，还是算子代数的研究，都必须引进一般的，不只是序列收敛的弱拓扑。那时已经把巴拿赫空间的一些基本结果推广到完备的、拟赋范的线性空间上去。其后,分布理论的出现,又提出一批新空间如D空间、φ空间等等。这样大量的重要空间就不再是赋范线性的了，于是有必要在它们的基础上，建立起局部凸拓扑线性空间理论。从而开创了新的研究领域，也使泛函分析旧有的理论得到进一步发展。 设x 既是实或复的数域K上的线性空间,又是拓扑空间,并且x×x→x 的映射{x,y}x+y和K×x→x 的映射{α,x}αx都是连续的，则称x为拓扑线性空间。以下还假定所论拓扑线性空间是豪斯多夫空间，因为绝大多数有趣的定理和应用都是关于这类空间的。 线性空间E中的点集A，如果当x,y∈A且0≤α≤1时αx+(1-α)y∈A,则称A是凸集。设A与B是拓扑线性空间x中的点集,如果存在α>0使B嶅αA，则称A吸收B。如果任何x∈x 都被M吸收,则称M为吸收的点集。若对x∈M，当｜λ｜≤1时总有 λx∈M，则称M是平衡的。显然赋范线性空间中的点集 {x;‖x‖<r}都是吸收的，平衡的。设M嶅x，若对0点的每个邻域V都有α>0使M嶅αV则称M为有界集。 拓扑线性空间x为赋范的充要条件是 x的0点有凸的、有界的邻域。 拟赋范空间 如果线性空间x上每个元x都恰有一数‖x‖与之对应，且①‖x‖≥0又‖x‖＝0当且只当x=0；②‖-x‖=‖x‖, 又当 αn→α，‖xn-x‖→0 时有;③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，则称x为拟赋范的线性空间。这是赋范线性空间的重要推广。若x 还按距离d(x,y)＝‖x-y‖是完备的，便称x为F空间。【0,1】上全体几乎处处是有限的,可测实值函数构成的集合S【0,1】按 成为典型的F空间。F空间都是拓扑线性空间。 局部凸空间 如果拓扑线性空间x在0点存在由凸集构成的邻域基，则称x为局部凸拓扑线性空间,简称为局部凸空间。局部凸空间上必定存在非零的连续线性泛函。可以证明S【0,1】上没有非零的连续线性泛函，从而S【0,1】便不是局部凸的。对于这样的空间当然也就没有对偶理论了。据此可见局部凸假设的重要性。 对局部凸空间x,可以证明存在x在原点之邻域基,其中每个邻域都是凸的、平衡的、吸收的。 若C是线性空间E中一个凸的，吸收的点集，则有所谓闵科夫斯基泛函 ,它具有性质:①ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y)，②当t≥0,ρ(tx)=tρ(x)，③若又设C是平衡的，则ρ(αx)=｜α｜ρ(x)。一般也称具有性质①与③的函数ρ(x)为半范数。 另一方面，于一族半范数,如果ρα(x)=0对一切α∈A都成立导致x=0,则全体{x｜ραj(x)<ε，i=1,2,…,n},其中αi∈A,ε>0，便生成一个局部凸空间在0点的邻域基。在应用上，许多局部凸空间正是这样自然形成的。 完全的、可度量化的局部凸空间称为弗雷歇空间。在文献上，弗雷歇空间这个词的使用是不统一的，也有不少人把前述F空间叫做弗雷歇空间。局部凸的空间x可度量化必须且只须 x上的拓扑能由可数多个半范数生成。巴拿赫空间上的算子理论大部分可以推广到弗雷歇空间上去。许多重要的空间是弗雷歇空间或者是由它们生成的，例如φ(Rn)空间、DK空间、D空间等等。 凸集 重要的哈恩－巴拿赫定理也可以表述为：若巴拿赫空间x 的线性簇 g（线性空间经平移后的集）与开球K不相交，则有闭超平面H使H叾g而H∩K=═（见巴拿赫空间）。上述g与K是很特殊的凸集。但对于有限维空间，H.闵科夫斯基在1911年便已论述了一般凸体的分离定理。对于局部凸拓扑线性空间x 有下述一般的分离定理:设A与B是x中非空的、不相交的凸集,则①若A含有内点,则有x上之非零连续线性泛函ƒ与实数r使Reƒ(x)≤r≤Reƒ(y)（当x∈A而y∈B）；②若A是闭的，B是紧集，则有x上之连续线性泛函与实数r1，r2使得Reƒ(x)<r1<r2ƒ(y)（当x∈A而y∈B）。分离定理对于凸集之拓扑性质的研究是很有用的。凸集的几何学是拓扑线性空间论的特色。 端点 在凸性的研究中，很早就出现了端点这概念。后来发展成重要的端点方法。 设E是线性空间,═≠M吇K嶅E，如果从K中两个点k1和k2的一个真凸组合，恒有k1,k2∈M,则称M为K之端集。如果单点集{z0}是K的端集，则称z0为K的端点。 设K是Rn中的紧凸集。闵科夫斯基证明每个x∈K都可表示成至多n+1个K之端点的凸组合。 起源于对巴拿赫空间的共轭空间中弱*紧集的研究，1940年证明了很有用的克列因-米利曼定理：设K是局部凸空间x中的紧集，又K之全体端点为ε，则K吇ε之凸闭包，如果K还是凸的，则K=。 G.绍凯在1960年证明了如下定理：设K是度量空间x中凸的紧集，则K所有端点的集合ε是一个GΔ集合,且对每个x∈K,有定义在x之一切贝尔集上之非负的贝尔测度μx(·)使得μx(x\\ε)=0，μx(ε)=1且。 弱拓扑与麦基拓扑 设x是线性空间,Y是x上一些线性泛函构成的线性空间，且Y能分离x的点，即ƒ(x)=0对一切 ƒ∈Y 都成立时导致x＝0，便把这样一对空间记作<x,Y>。 对于〈x,Y〉,则x上使Y中一切泛函都连续之最弱的局部凸拓扑便称为x上的Y弱拓扑，记作σ(x,Y)。实际上，一切就构成 σ(x，Y)在0点的一个邻域基。当x是巴拿赫空间时，则x上的弱拓扑即σ(X,X*)，而x*上的弱拓扑即σ(x*,x)。 设线性空间x按拓扑J成为局部凸空间,记作(x,J)。所有在 x上按J连续的线性泛函称为(x,J)的拓扑对偶，记作x*。在x上除了σ(x，Y)还可能有其他的局部凸拓扑J使(x，J)的拓扑对偶恰好是Y。人们自然希望能刻画出所有这样的拓扑J。 对于〈x,Y〉，则在Y之任何凸的，σ〈Y,x〉紧的点集上皆一致收敛的拓扑称为x上的麦基拓扑,记作τ(x,Y)，亦即必须且只须y(xα)在Y 之任何凸的σ(Y,x)紧的点集上都一致收敛。 拓扑τ(x,Y)比σ(x,Y)强。 麦基－阿伦斯定理 对于〈x，Y〉，则 x上之局部凸拓扑J使（x,J）的拓扑对偶恰好是Y的充要条件为σ(x,Y)吇J吇τ(x,y)。拓扑J也称为〈x,Y〉拓扑。 对〈x,Y〉与M嶅x，则 称为M的极集。当 x＝Y 为希尔伯特空间，而M是x之子空间时，则 M0即 M寑。当x为巴拿赫空间，Y=x*而M={x｜‖x‖≤r}时，则 。 布尔巴基-阿劳格鲁定理 设U嶅x是O点之凸的、平衡的、某〈x,Y〉拓扑的邻域,那么U0是Y中σ(Y,x)紧集。 这是一般拓扑学在泛函分析中的重要成就。 对于一个重要的性质p,人们希望能完全地刻画出使p得以成立的空间结构。这显然是有趣的,事实上也往往是很有价值的。于是在拓扑线性空间论中便提出许多重要的空间，例如桶空间、蒙泰尔空间、核空间等等。 桶空间 局部凸空间x 中之平衡的，吸收的凸闭集叫做桶。如果x的每个桶都是O点的邻域，则称x 为桶空间。这空间的特性在于下列定理:设x 是局部凸空间,则x*中一切σ(x*,x)有界集皆同等连续的充要条件是x 为桶空间。凡属第二纲的局部凸空间都是桶空间，于是巴拿赫空间，弗雷歇空间都是桶空间。广义函数论中的D空间也是桶空间。 蒙泰尔空间 设x是桶空间。如果x中每个有界闭集都是紧的,则称x为蒙泰尔空间。广义函数论中之D空间与φ空间都是蒙泰尔空间。 有界型空间 如果局部凸空间x中任何凸的,平衡的，能吸收任何有界集的点集都是O点的邻域,则称x 为有界型空间。设线性算子T 把有界型空间x 映入局部凸空间Y，如果T把每个有界集都映成有界集，则T是连续的。 正是由于研究映射的连续性，在局部凸拓扑线性空间论中便出现了种种拓扑和空间。前述之弱拓扑、麦基拓扑、有界型空间等都是如此。 核空间 设E为局部凸拓扑线性空间，V 是O点的一个凸的、平衡的邻域。视{y｜pV(x-y)=0}为一个元慜V,这里 pV为对应于V的闵科夫斯基泛函。 所有如此慜V按成为一个赋范线性空间xV。如果对O之任给的一凸的、平衡的邻域U,都存在O 的凸的、平衡的邻域V 使V嶅U且相应的典则映射的完备化空间U为核算子，则称x为核空间,它是抽象核定理得以成立的局部凸空间，是数学分析中重要的拓扑线性空间。 由于数学及其应用的要求，人们往往要从熟知的空间，构造出新的拓扑线性空间。 归纳极限 设x是复(或实)线性空间，{xn} 都是局部凸空间,且 设xn上的局部凸拓扑是xn+1的拓扑在xn上的限制,设U是由x中所有那些凸的、平衡的、吸收的点集U组成,每个U∩xn 都是xn中的开集n=1,2,…,则U是一个局部凸拓扑在O点的邻域基，这局部凸空间便称为{xn}之严格归纳极限，这在广义函数论中是很重要的概念。特点是：设T为从x到局部凸空间Y 的线性映射,则T是连续的必须且只须每个限制T｜xn都连续。弗雷歇空间序列的严格归纳极限称为LF空间，它是分析学中一类很有用的空间。 投影拓扑 乘积拓扑（见拓扑空间）的推广。 设：{Eα}α∈A 是一族拓扑线性空间。设φα是一族从线性空间E到Eα的线性映射，则E上一切使φα(α∈A)都连续的拓扑中之最弱者称为E上相对于{φα}α∈A的投影拓扑。 以桶空间这类型说，由它生成的商空间、乘积空间、严格归纳极限等都仍然是桶空间。一般对各种类型的空间，往往需要考察由它们生成的空间是否保持原来的类型不变。 参考书目 N.Bourbaki,Espaces Vectoriels Topologigues, Actualités Sei. Ind Hermann, Paris, 1953,1955. J.L.Kelley and I.Namioka, et al.,Linear Topological Spaces, Van Nostrand,New York,1963. G.Kthe,Topological Vector Spaces, Vo1. I,Springer-Verlag, New York, 1969. § 配图 § 相关连接 |
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