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词条 矩阵代数式
释义

代数式包括有理式(整式,分式)和无理式。在线性代数中用矩阵(向量)代替代数式中的实数,得到的代数式称为矩阵代数式。矩阵代数式遵守代数式的规律,但是也有自己的特殊规律。

矩阵代数式简介

根据矩阵的性质,矩阵代数式的使用范围不同。例如相似矩阵代数式只能在相似矩阵之间使用。对等价,相似,合同矩阵代数式,加单位矩阵(或者常量矩阵),不改变矩阵性质,等式仍然成立。矩阵等式“除法”用两端乘以逆矩阵实现,要求矩阵(因式)可逆。

相似矩阵代数式

矩阵的相似变换(两端)定义式:

若A ~ B,则(P^-1)AP=B

推理:矩阵A的复合表示形式的相似变换:

.1线性计算式:(P^-1)AP=P^(-1)(lB+kC)P=l(P^-1)BP+k(P^-1)CP

.2矩阵乘法式:(P^-1)AP=(P^-1)BCP=((P^-1)BP)((P^-1)CP)

说明:相似变换符合对矩阵线性计算与乘法的分配律

定理 相似矩阵的性质

.1数量性:①det(P^-1)AP=det(P^-1)*detP*detA=detB∴detA=detB

② |λE-A|=|λE-B|

③ 相似矩阵的特征值相同

④相似矩阵的迹相同(=∑λi用在对角矩阵的全部特征值)

.2秩:⑤相似矩阵(等价)的秩相同。

.3伴随矩阵集:⑥A^-1 ~ B^-1

⑦A^T ~ B^T

.4矩阵计算

⑧与常量矩阵加法运算的相似不变性

任给实数t, tE-A ~ tE-B

⑨幂的相似不变性 A^k ~ B^k

.5构造分块矩阵

⑩两对相似矩阵可分别构造两个对角线分块矩阵,保持相似不变性。

说明:①|λE-A|=|λE-B| ,但是λE-A=λE-B(-A=-B)不成立。

②相似矩阵的特征值相同,但是特征向量不同。 实际上,矩阵的相似变换是通过特征向量之间的可逆变换实现的。

③不一定每一个划分相似集合中都有对角矩阵。因此A ~ B不一定能都相似一个对角矩阵。

实对称矩阵代数式

定义式:①A=A^T,A是实对称矩阵。

定理 实对称矩阵的性质

.1②(A^-1)= (A^-1)^T, A^T, A^*同理。

.2③kA=k(A^T),A+B=(A+B)^T

.3④矩阵 与转置矩阵的相乘得对称矩阵:

A(A^T)= (A(A^T))^T,同理:(A^T)A。

所以,对称矩阵都是方阵。

定理 实对称矩阵的正交相似性

任意一个实对称矩阵,一定相似正交与一个实对角矩阵。即存在一个正交矩阵Q,使得

⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ

说明: 是T的特征值构成的对角形矩阵。

定理 实对称矩阵的正定性

实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵C,使

⑥(C^T)AC=E

定理 实对称矩阵正定的充要条件

.1 ⑦全部特征值>0

⑧|A|>0

⑨各阶顺序主子式 >0

.2构造(分解表示形式)

⑩A=(P^T)P,P可逆(根据⑥)。

存在正交矩阵Q,与对角矩阵合同且相似.

⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ

.3 A的正惯性指数为n

说明:正定矩阵一定是对称矩阵.

定理 正定矩阵(实对称矩阵类)的性质

.1计算特性

kA,A^T,A^-1,A^*都是实对称正定矩阵.

说明:这四个矩阵都可写出⑤,⑦~⑩.

参考文献:

1陆剑虹,线性代数,南京航空航天大学,1987.

2黄先开等,考研数学参考书,人民大学出版社,2008.

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