简介(几何作图的步骤 几何三大问题)

发展简史

简介

平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。

几何作图的步骤

1.已知— 叙述所给的作图条件。

2.求作—说明要求作出合乎题设条件的图形。

3.分析—绘制草图，根据已知条件分析，找出作图方法，定出符合条件的图形。

4.作法—叙述作图过程和方法，画出所求图形。

5.证明—求证所作图形的正确性。

6.讨论—根据题设条件，讨论所作图形在什么情况下是唯一解、多解、无解、不定解。

以上作图步骤属于一般情况，如命题比较简单，可省略某些步骤。

以下是一个具体例子。

过两定点作圆与定线相切。已知：定点A、B，定线j 。

求作：过A、B点且与线j相切的圆。

分析：

1、所求圆的圆心必在AB的垂直平分线上。

2、根据圆的切割线定理（切线长度是割线长度的比例中项）可定出所求圆在定线上的切点。

作法：

1、过A、B作射线n交线j于C。

2、作线段AB的垂直平分线k。

3、过C点作线k的平行线m。

4、以C点为圆心CB长为半径作圆交射线n于D。

5、以AD长为直径作圆交线m于E。

6、以C点为圆心CE长为半径作圆交定线j于F。

7、过F点作定线j垂线交线k于G。

8、以G为圆心GF长为半径作圆，必通过A、B点且与定线j相切。

证明：略。

讨论：

1、由于作法6、中交线j的点有2个，即满足条件的切点有2点，所以本作图题有2解。

2、由于篇幅关系，本题作法和作图仅写出一解。

几何三大问题

1.化圆为方－求作一正方形使其面积等于一已知圆；

2.三等分任意角；

3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。

三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。/18=20。)。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。

第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

发展简史

1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。