集合是具有某种特定性质的事物的总体。 这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如： 1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急～。 2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。 3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托（Cantor, G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱）是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

汉语词语

基本解释

【词目】集合

【拼音】jí hé

【英译】

[assemble;collect;congrate;converge;muster;rally;gether;call together]

[aggregate]

【基本解释】

1.分散的人或事物聚集到一起；使聚集

2.一组具有某种共同性质的数学元素

详细解释

含义

1．分散的人或事物聚集在一起；使聚集。《汉书·匈奴传下》：“发三十万众，具三百日粮……计其道里，一年尚未集合，兵先至者聚居暴露。”章炳麟《文学说例》：“若《释诂》所陈……诚以八代殊名，方国异语，靡不集合焉尔。”魏巍《东方》第四部第十八章：“毛主席 上井冈山 ，开头人很少，吹一声哨子就集合起来了。”如：集合队伍。

2．集体，团体。

鲁迅《书信集·致许寿裳》：“惟近来出杂志一种曰《新潮》，颇强人意，只是二十人左右之小集合所作，间亦杂教员著作。”

示例

紧急集合。

有理数的集合。

数学名词

概念

指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”。

集合是指具有某种性质的事物的总体。

集合(简称集）是把人们的直观的或思维中的某些确定的

能够区分的对象放在一起，成为命题中的“这些”“那些”，作为考虑问题的整体。组成一集合的那些

对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

现代数学还用“公理”来规定集合。最基本公理例如：

墨子对集合的定义

《墨子·经下》

【原文】

区物，一体也，说在俱一、惟是。

俱一，若牛马四足。惟是，当牛马。数牛，数马，则牛马二；数牛马，则牛马一。若数指，指五而五一。 【释】

区本作欧。

区物：在一个区域的物体。就是集合。

数shu3牛，数shu3马，数shu3牛马。

【译】

集合，是一个整体。说在俱备共同特徵、并且只考察这个特徵。

俱备共同特徵，比如牛马都有四足。只考虑牛、马有“四足”而不区分有角无角，牛集和马集中的元素就都是牛马集元素。只数牛，只数马，则是考察牛、马两个集合；数牛马，则是考察牛、马的并集“牛马集”。若数手指，拇、食、中、无名、小五个，而五指归於一个手指集。

【论】

墨经的定义，“共同，考察并且只考察”不仅严格而且完美。

现代定义：“集合是具有某种特定性质的事物的总体。”

数牛，数马，是不唯“四足”，牛马异则二。（有角无角

）

数牛马， 是唯“四足”，牛马同则一。

数 拇、食、中、无名、小，是不唯“长在手掌上，长条，可以弯曲，有指甲”，则五。（长度不同）

数 指，是唯“长在手掌上，长条，可以弯曲，有指甲”，则一。

基本公理

外延公理

对于任意的集合A和B，A=B当且仅当对于任意的对象a，都有若a∈A，则a∈B；若a∈B，则a∈A。

无序对集合存在公理

对于任意的对象a与b，都存在一个集合A，使得A恰有两个元素，一个是对象a，一个是对象b。由外延公理，由它们组成的无序对集合是唯一的，记做{a，b}。由于a，b是任意两个对象，它们可以相等，也可以不相等。当a=b时，{a，b}，可以记做{a}或{b}，并且称之为单元集合。

空集合存在公理：存在一个集合，它没有任何元素。

举例

（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集。

元素与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。

『说明一下：如果集合A 的所有元素同时都是集合B 的元素，则A 称作是B 的子集，写作A 包含于 B。若A 是B 的子集，且A 不等于B，则 A 称作是B 的真子集，一般写作A 含B。中学教材课本里将 符号下加了一个≠ 符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。一般的如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。

集合运算法则

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。 有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减1再相乘。48个。

对称差集：

设A,B 为集合，A与B的对称差集AÅB定义为：

AÅB=（A-B）∪(B-A)

例如：A={a,b,c},B={b,d},则AÅB={a,c,d}

对称差运算的另一种定义是：

AÅB=（A∪B）-(A∩B)

无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集

有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。

差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）。记作：A\\B={x│x∈A,x不属于B}。

注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”。　补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}

空集也被认为是有限集合。

例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。

在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

集合元素的性质

1．逻辑性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。

2．独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。

3．互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。

4．无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

5．纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。

6．完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

集合性质

若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

集合表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。

1．列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}

2．描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}

3．图示法维恩（Venn图）﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。用这种图可以形象的表示出集合之间的关系

4.自然语言

常用数集的符号：

（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；不包括0的自然数集合，记作N*

（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+；负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-

（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z

（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)

（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R（正实数集合记作R+；负实数记作R-）

（6）复数集合计作C

集合的运算：

集合交换律

A∩B=B∩A

A∪B=B∪A

集合结合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

集合分配对偶律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

集合对偶律

（A∪B)^C=A^C∩B^C

（A∩B)^C=A^C∪B^C

集合的摩根律

Cu(A∩B)=CuA∪CuB

Cu(A∪B)=CuA∩CuB

集合“容斥原理”

在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)

1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。

集合吸收律

A∪(A∩B)=A

A∩(A∪B)=A

集合求补律

A∪CuA=U

A∩CuA=Φ

设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集

德摩根律A-(BUC)=（A-B)∩(A-C)

A-(B∩C)=（A-B)U(A-C)

～（BUC)=~B∩~C

～（B∩C)=~BU~C

~Φ=E ~E=Φ

特殊集合的表示

复数集C

实数集 R

正实数集R+

负实数集 R-

整数集Z

正整数集 Z+

负整数集Z-

有理数集 Q

正有理数集Q+

负有理数集 Q-

不含0的有理数集Q*

自然数集 N

不含0自然数集N*

集合常见考法

集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。

模糊集合

用来表达模糊性概念的集合。又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于 1965 年首先提出的。模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论（中国通常称为模糊性数学)的基础。

依据模糊数学的思想，在电器中设计出相应的功能。不再是原来的非此即彼的绝对的判断。

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