定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。

定义新运算

注意

例题

定义新运算

如：

设a△b=a+b+ab

3△2=3+2+6=11

5△5=5+5+25=35

设a*b=﹙a+b﹚÷3

6*﹙5*4﹚=3

注意

（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

例题

定义新运算可以作为一类数学问题，如：

例1、x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.

分析我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据"△"的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,1△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.

(1△2)*3=a*3,按"*"的定义: a*3=ma+3n,在只有求出m,n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k,m,n的值.通过1*2 =5可以求出m,n的值,通过(2*3)△4=64求出 k的值.

解 因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n

=5.又因为m,n均为自然数,所以解出:

①当m=1,n=2时:

(2*3)△4=(1×2+2×3)△4

=8△4=k×8×4=32k

有32k=64,解出k=2.

②当m=3,n=1时:

(2*3)△4=(3×2+1×3)△4

=9△4=k×9×4=36k

所以m=l,n=2,k=2.

(1△2)*3=(2×1×2)*3

=4*3

=1×4+2×3

=10.

例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。

分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。

8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6

例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。

分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。

6◎（9◎2）

=6◎[9×2-（9+2）]

=6◎7

=6×7-（6+7）

=42-13

=29

例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。

求6Δ5。

分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。

6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070