等度连续的定义(定义一 定义二)

等度连续的应用(阿索里引理 连(Liam)定理)

等度连续与一致连续一致收敛的关系(一致连续 一致收敛)

等度连续的定义

定义一

对于定义在区间I上的函数序列{fn(x)}称为等度连续的，如果对任意的n，fn(x)在区间I上一致连续。

定义二

设{fn(x)}是定义在区间I上的连续函数序列，如果对任意的n(正整数)、ε(正实数)，存在正实数δ(只与ε有关，而与x和n无关)，使得对于任意满足|x1-x2|<δ的x1、x2，对任意的n，都有|fn(x1)-fn(x2)|<ε，则称函数序列在区间I上等度连续。

等度连续的应用

应当指出的是，等度连续是非常严格的。具有等度连续性的函数序列往往具有特别的性质。

阿索里引理

闭区间I上的等度连续函数序列{fn(x)}存在子列{fnk(x)}在区间I上一致收敛。

连(Liam)定理

闭区间[a,b]上的连续函数序列在[a,b]上等度连续与在(a,b)上等度连续等价。

等度连续与一致连续一致收敛的关系

一致连续

数学分析中，一元函数的一致连续被定义为：

定义在区间I上的连续函数f(x)称为一致连续的，如果对于任意的ε>0，都有δ>0(只与ε有关而与x无关)使得对于任意定义区间内的满足|x1-x2|<δ的x1、x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε。

可以看到，一元函数一致连续的定义与前述等度连续（定义二）是类似的。事实上，等度连续意味着函数序列中每一个fn(x)都在定义区间内一致连续。

一致收敛

数学分析中，函数项级数的一致收敛被定义为：

函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)在Un(x)的定义区间A上收敛于极限函数f(x)，若对于任意给定的正实数ε，都存在一个只与ε有关与x无关的正整数N，使得对于任意的n>N以及x∈A都有|f(x) - ∑(i:1→n) Ui(x)|<ε，则称函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)在定义区间A上一致收敛。

等度连续与一致收敛的关系通过阿索里引理建立，即闭区间I上的等度连续函数序列{fn(x)}存在子列{fnk(x)}在区间I上一致收敛。