背景

证明

其他证明(证明一 证明二 证明三)

后世发展

背景

斯坦纳问题：“如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形”。

这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长在相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明是很容易的。

1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。等腰三角形的两底角平分线相等，初中生都会证明。但反过来，三角形的两内角平分线相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？我至今还没想出来。”

但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—莱默斯定理。

证明

德国数学家海塞（L.O.Hesse,1811~1874）的证法：

作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC

∵BD=EC，

∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.

设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，

∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);

∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β);

∴∠FBC=∠CDF，

∵2α+2β<180°,

∴α+β<90°，

∴∠FBC=∠CDF>90°

∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.

设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=HD

连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC.

其他证明

证明一

设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD

作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC

∵BE=DC

∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF

设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β

∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);

∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);

∴∠FBC=∠CEF

∵2α+2β<180°,∴α+β<90°

∴∠FBC=∠CEF>90°

∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.

设垂足分别为G、H;

∠HEF=∠CBG;

∵BC=EF,

∴Rt△CGB≌Rt△FHE

∴CG=FH,BG=HE

连接CF

∵CF=FC,FH=CG

∴Rt△CGF≌△FHC

∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD

∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

证明二

设二角的一半分别为α、β

sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,

∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0

→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0

→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0

→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0

，∴sin[(α-β)/2]＝0

∴α＝β,∴AB=AC.

证明三

用张角定理：

2cosα/BE=1/BC+1/AB

2cosβ/CD=1/BC+1/AC

若α>β 可推出AB>AC矛盾！

若α<β 可推出AB

所以AB=AC

后世发展

斯坦纳的证明发表后，引起了数学界极大反响。论证这个定理的文章发表在1842年到1864年的几乎每一年的各种杂志上。后来，一家数学刊物公开征解，竟然收集并整理了60多种证法，编成一本书。直到1980年，美国《数学老师》月刊还登载了这个定理的研究现状，随后又收到了2000多封来信，增补了20多种证法并收到了一个最简单的直接证法。经过几代人的努力，100多年的研究，“斯坦纳-雷米欧斯”定理已成为数学百花园中最惹人喜爱的瑰丽花朵！