结合子

性质

应用

在抽象代数中，交错代数是乘法不满足结合性，仅满足交错性的代数。也就是说，我们有：

x(xy) = (xx)y (yx)x = y(xx) 对于所有代数中的x和y。每一个结合代数都显然是交错的，但有些严格的非结合代数，例如八元数，也是交错的。另一方面，十六元数则不是交错的。

结合子

交错代数之所以这样命名，是因为它们正好是结合子交错的代数。结合子是一个三线性映射，由下式给出：

[x,y,z] = (xy)z − x(yz) 根据定义，一个多线性映射是交错的，如果只要两个自变量相等，映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于：

[x,x,y] = 0 [y,x,x] = 0. 两个恒等式在一起，便意味着结合子是完全斜对称的。也就是说：

[xσ(1),xσ(2),xσ(3)] = sgn(σ)[x1,x2,x3] 对于任何置换σ。于是可以推出：

[x,y,x] = 0 对于所有的x和y。这等价于所谓的柔性恒等式：

(xy)x = x(yx). 因此结合子是交错的。反过来，任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性，任何一个代数，只要满足以下三个恒等式中的两个：

左交错恒等式：x(xy) = (xx)y 右交错恒等式：(yx)x = y(xx) 柔性恒等式：(xy)x = x(yx). 这个代数便是交错的，因此三个恒等式都满足。

一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立，只要基域的特征不是2。

性质

阿廷定理说明，在交错代数中，由任何两个元素生成的子代数是结合的。反过来，任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出，在交错代数中，只含有两个变量的表达式可以不用括号写出，而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明，如果交错代数中的三个元素x,y,z是结合的（也就是说，[x,y,z] = 0），那么由这些元素所生成的子代数是结合的。

阿廷定理的一个推论是，交错代数都是幂结合的，也就是说，由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立：十六元数是幂结合的，但不是交错的。

穆方恒等式

a(x(ay)) = (axa)y ((xa)y)a = x(aya) (ax)(ya) = a(xy)a 在任何交错代数中都成立。

在一个单式交错代数中，如果乘法逆存在，那么它一定是唯一的。更进一步，对于任何可逆的元素x和所有的y，都有：

y = x − 1(xy). 这等于是说，对于所有这类的x和y，结合子[x − 1,x,y]都是零。如果x和y是可逆的，那么xy也是可逆的，其乘法逆为(xy) − 1 = y − 1x − 1。因此，所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭，并形成了一个穆方圈。在交错环或代数中，这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的。

应用

任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面。