所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

定义

历史概述

常见类型

一次不定方程

多元一次不定方程

二次不定方程

高次不定方程

多元高次不定方程

特殊求解方法

简单例题

不定方程与代数几何

进展与学科联系

不定方程——相关趣闻

定义

indeterminate equation

不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。 Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组 (变量的个数大于方程的个数)或不定方程式 (两个变数以上)。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

常见类型

（1）求不定方程的解；

（2）判定不定方程是否有解；

（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

一次不定方程

二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，(x0，y0)是所给方程的一个解， 则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。

S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。

埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程　公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：

（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。

（二）后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.

（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。

（四）上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：

N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1)

其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。

（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：

N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (2)

例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。

以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。

由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。

例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。

k=3时,

---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

---------------------|---------|----------|--------|---------|

n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|

n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

------------------------------------------------------------

求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。

多元一次不定方程

关于整数多元一次不定方程，可以有矩阵解法、程序设计等相关方法辅助求解。

二次不定方程

二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线（即圆锥曲线）的有理点或整点问题。

一类特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2，其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数，中国《周髀算经》中有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道 （3，4，5）是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了（5，12，13），（8，15，17）， （ 7，24，25），（20，21，29）几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。这类方程本质上就是求椭圆上的有理点。

另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。这类方程就是求双曲线上的有理点。

最后一类就是平方剩余问题， 即求x^2-py=q的整数解， 用高斯的同余理论来描述，就是求x^2≡q(mod p) 的剩余类解。 高斯发现的著名二次互反律 给出了次方程是否有解的判定方法。这类方程就相当于求抛物线上的整点。

圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一种特例。

高次不定方程

对高于二次的不定方程，相当复杂。当n>2时，x^n+y^n=z^n没有非平凡的整数解 ，即著名的费马大定理 ，历经3个世纪 ，已由英国数学家安德鲁 ·维尔斯证明完全可以成立。

有一些高次方程同样无解：

多元高次不定方程

多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次

域来讨论一些特殊的不定方程的整数解．常用的解法

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

（5）无穷递推法。

特殊求解方法

（一）二元一次不定方程（组）

定义1. 形如 ax + by = c ( a，b，c∈Z，a，b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

定理1. 方程 ax + by = c 有解的充要是 ( a,b ) | c；

定理2. 若( a,b ) = 1，且 x_0，y_0为 ax + by = c 的一个解，则方程的一切解都可以表示成

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定理3. n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 +…+ a_nx_n = c，( a_1，a_2，…a_n，c∈N )有解的充要条件是：( a_1，a_2，…a_n ) | c.

方法与技巧：

1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求 ax + by = c 一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；

2．解n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 +…+ a_nx_n = c 时，可先顺次求出 ( a_1，a_2 ) = d_2，( d_2，a_3 ) = d_3，…，( d_(n-1)，a_n ) = d_n. 若c不能被 d_n 整除，则方程无解；若c可以被 d_n 整除，则方程有解，作方程组：

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求出最后一个方程的一切解，然后把 t_(n-1) 的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

3．m个n元一次不定方程组成的方程组，其中 m < n，可以消去 m-1 个未知数，从而消去了 m-1 个不定方程，将方程组转化为一个 n-m+1 元的一次不定方程。

（二）高次不定方程（组）及其解法

1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；

2．同余法：如果不定方程 F( x_1，x_2，…，x_n ) = 0 有整数解，则对于任意 m∈N，其整数解 ( x_1，x_2，…，x_n ) 满足 F( x_1，x_2，…，x_n ) ≡ 0 ( modm )，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；

3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；

4．无限递降法：若关于正整数n的命题 P(n) 对某些正整数成立，设 n_0 是使 P(n) 成立的最小正整数，可以推出：存在正整数n，使得 n_1 < n_0 成立，适合证明不定方程无正整数解。

方法与技巧：

1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；

2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；

3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；

4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。

（三）特殊的不定方程

1．利用分解法求不定方程 ax + by = cxy ( abc≠0 )整数解的基本思路：

将 ax + by = cxy 转化为 (x - a)(cy -b) = ab 后，若 ab 可分解为 ab = a_1b_1 = a_2b_2 =…= a_ib_i∈Z，则解的一般形式为，

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再取舍得其整数解；

2．定义2：形如的 x^2 + y^2 = z^2 的方程叫做勾股数方程，这里x，y，z为正整数。

对于方程 x^2 + y^2 = z^2 ，如果 (x，y) = d，则 d^2|z^2，从而只需讨论 (x，y) = 1 的情形，此时易知x，y，z两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。

定理3.勾股数方程满足条件 2|y 的一切解可表示为：

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其中 a > b > 0，(a，b) = 1， 且a，b为一奇一偶。

推论：勾股数方程的全部正整数解（x，y的顺序不加区别）可表示为：

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其中 a > b > 0 是互质的奇偶性不同的一对正整数，d是一个整数。

勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。

3．定义3.方程 x^2 - dy^2 = ±1，±4 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数) 是 x^2 - dy^2 = c 的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程。

这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程 x^2 - dy^2 = c 的研究，其中c，d都是整数，d > 0 且非平方数，而 c ≠ 0。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解(x，y)，则称使 x + yd^0.5 的最小的正整数解为它的最小解。

定理4.Pell方程 x^2 - dy^2 = 1 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数)必有正整数解，且若设它的最小解为(x_1，y_1)，则它的全部解可以表示成：

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上面的公式也可以写成以下几种形式：|

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定理5.Pell方程 x^2 - dy^2 = -1 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为(x_1，y_1)，则它的全部解可以表示为

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定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程 x^n + y^n = z^n (n≥3且为整数)无正整数解。

费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。

简单例题

例1 求11x+15y=7的整数解．

解法1 将方程变形得

因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为

解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得

11×(-4)+15×(3)=1，

所以

11×(-4×7)+15×(3×7)=7，

可取x0=-28，y0=21．从而

可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．

例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．

解 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得

3x+11y=45． ①

由观察知，x1=4，y1=-1是方程

3x+11y=1 ②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．

当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是

例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．

分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．

解 用方程

7x+19y=213 ①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．T儆*5除此式的两边得

2u+5v=3． ④

由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为

由于要求方程的正整数解，所以

解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为

当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

例4 求方程37x+107y=25的整数解．

解 107=2×37+33，

37=1×33+4，

33=8×4+1．

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4

=37-9×(37-33)=9×33-8×37

=9×(107-2×37)8×37=9×107-26×37

=37×(-26)+107×9．

由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是

x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225

是方程37x+107y=25的一组整数解．

所以原方程的一切整数解为

例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？

解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是

7x+5y=142. ①

所以

由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5|2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5|x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为

所以，共有4种不同的支付方式．

说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．

多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．

例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．

解 设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为

用前面的方法可以求得①的解为

②的解为

消去t，得

大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．

例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组

①化简得 15x+9y+z=300． ③

③-②得 14x+8y=200，

即 7x+4y=100．

解7x+4y=1得

于是7x+4y=100的一个特解为

由定理知7x+4y=100的所有整数解为

由题意知，0<x，y，z<100，所以

由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足

x+y+z=100．

t x y z

26 4 18 78

27 8 11 81

28 12 4 84

即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．

不定方程与代数几何

对于多项式不定方程， 我们相当于求解某个代数簇上的有理点或整点等等。 这样， 一个数论问题就转化为某种几何问题。 这种观点将数论与代数几何联系起来，是一种重要的数学思想。 对于代数曲线来说， 相应的不定方程是否有解的以及是否有无限个解， 都与曲线的亏格密切相关。 这就是著名的莫代尔猜想（由法尔廷斯 证明）所包含的内容。

亏格零的曲线就是直线和二次曲线， 他们就对应了上述的一次和二次不定方程。 亏格1的是椭圆曲线， 它的算术性质和代数几何性质极为丰富。 它将数论、复分析、代数几何、表示论等等都联系起来， 是当代数学最重要的研究对象之一。 与此相关的是千禧年七大数学难题 之一的BSD猜想。

著名的费马大定理的证明也与此相关。

进展与学科联系

近年来，这个领域更有重要进展。但从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。

不定方程——相关趣闻

费尔马与费尔马大定理

费尔马(Pierre de Fermat，1601～1665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。——费尔马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克?牛顿、戈特弗里德?威廉?凡?莱布尼茨；又是概率论的主要创始人；还是独承17世纪数论天地的人。此外，费尔马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费尔马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一。

费尔马的家庭非常富裕，因而接受了很好、很广博的教育。当时还有“买官”的风气，所以费尔马得以一生都做官，而且官越当越大。

费尔马虽然一直做着官，但对他来说，真正的事业是学术，尤其是数学。他通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给他的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费尔马在数学上的造诣奠定了良好基础。在数学上，费尔马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。

费尔马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。反映其成就的《数学论集》，还是费尔马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理后编辑出版的。多亏了这个好儿子啊！如果不是他积极出版其父的数学论著，那很难说费尔马能对数学产生那么重大的影响，并被誉为“业余数学家之王”。

费尔马的贡献很多，但最出名的要数其中的“费尔马大定理”。这是一个与“哥德巴赫猜想”一类的数学难题，下面就说说它。

费尔马大定理的内容：

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程

x^n + y^n = z^n. （n表示“n次方”）

无正整数解。

1637年，费尔马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费尔马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。

1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人。当时吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”，但都没成功。

最后，在1995年，亦即（从问题提出到解决）经过了三个半世纪的努力后，这道世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家——安德鲁?怀尔斯和他的学生理查?泰勒成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，这令人怀疑费尔马当年是否真的找到了正确证明。

安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。当然他也拿到了那笔10万马克的奖金，因为还在规定的“破解期限”内。

而怀尔斯证明费尔马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了7年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后又用了近一年的时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。