英文翻译为 Betti theorem

设a、b是正无理数且 1/a +1/b =1。记P={ [na] | n为任意的正整数}，Q={ [nb] | n 为任意的正整数}，([x]'指的是取x的整数部分)则P与Q是Z+的一个划分，即P∩Q为空集且P∪Q为正整数集合Z+。

证明：因为a、b为正且1/a +1/b=1，则a、b>1，所以对于不同的整数n，[na]各不相同，类似对b有相同的结果。因此任一个整数至多在集合P或Q中出现一次。

* 现证明P∩Q为空集；(反证法)假设k为P∩Q的一个整数，则存在正整数m、n使得[ma]=[nb]=k。即k < ma、nb<k+1，等价地改写不等式为

* m/(k+1)< 1/a < m/k及n/(k+1)< 1/b < n/k。相加起来得 (m+n)/(k+1) < 1 < (m+n)/k，即 k < m+n < k+1。这与m、n为整数有矛盾，所以P∩Q为空集。 现证明Z+=P∪Q；已知P∪Q是Z+的子集，剩下来只要证明Z+是P∪Q的子集。(反证法)假设Z+\\(P∪Q)有一个元素k，则存在正整数m、n使得[ma]< k <[(m+1)a]、[nb]< k <[(n+1)b]。 由此得ma < k ≦[ (m+1)a]-1<(m+1)a -1，类似地有nb < k ≦[ (n+1)b]-1<(n+1)b -1。等价地改写为 m/k < 1/a < (m+1)/(k+1)及n/k < 1/b < (n+1)/(k+1)。两式加起来，得

(m+n)/k < 1 < (m+n+2)/(k+1)，即m+n < k < k+1 < m+n+2。这与m, n, k皆为正整数矛盾。所以Z+=P∪Q。