词条 | 智慧数 |
释义 | 智慧数性质:一个自然数若能表示为两个自然数的平方差,则这个自然数为“智慧数”。 比如:2^2-1^2=3,3就是智慧数。 命题:形如2k+1或4k的形式必为智慧数,智慧数的形式必为2k+1或4k的形式,k≥1。 以下给予推导证明: 令P=a^2 -b^2(P、a、b均为正整数) 1、若a=2m(m≥1),b=2n(n≥1) 则P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2),此时P为4k形式。 2、若a=2m(m≥1),b=2n+1(n≥0) 则P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1,此时P为4k -1形式。 3、若a=2m+1(m≥1),b=2n(n≥1) 则P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1,此时P为4k+1形式。 4、若a=2m+1(m≥1),b=2n+1(n≥0) 则P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n),此时P为4k形式。 又易知4k -1,4k+1包括了所有的奇数,即(4k+1)∪(4k -1)=2k+1 故P为2k+1或4k的形式,即智慧数为2k+1或4k的形式 又2k+1=(k+1)^2 –k^2, 4k=(k+1)^2 –(k-1)^2 故形如2k+1或4k的形式必为智慧数。 命题得证.自然数列中最小的智慧数是3,第2个智慧数是5,从5起,依次是5, 7, 8; 9, 11, 12; 13, 15, 16; 17, 19, 20······ 即按2个奇数,一个4的倍数,三个一组地依次排列下去。 像5^2-3^2=16,16就是智慧数。 |
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