明渠中由急流过渡为缓流（见缓流和急流）时发生的水流局部突变现象。从水闸或溢流坝下泄的急流受下游渠道缓流的顶托便发生水跃。

水跃

水跃方程

明渠水跃实验

顺坡折坡水跃方程的评述与改进

水跃

hydraulic jump

明渠中由急流过渡为缓流（见缓流和急流）时发生的水流局部突变现象。从水闸或溢流坝下泄的急流受下游渠道缓流的顶托便发生水跃（图1）。典型的水跃现象是：在很短的距离内水深急剧增加，流速相应减小。水跃区的水流可以分为两部分：上部不断翻腾旋滚，因掺入空气而呈白色，下部是主流，是流速急剧变化的区域。这两部分的交界面上流速梯度很大，紊动混掺强烈，液体质点不断地穿越交界面进行交换。由于水跃内部水体的强烈摩擦混掺而消耗大量机械能，因此通常把水跃作为消能的有效方式之一（见水跃消能）。

水跃方程

水跃始端和终端两个断面的水深分别称为跃前水深h1和跃后水深h2。这两个水深之间存在着共轭关系。对于水平底棱柱形渠道（即断面形状和尺寸沿流向不变的渠道），这个关系可以用动量原理导出，称水跃方程：(1)

式中A1、A2为断面面积;yc1、yc2为断面形心处的水深；β1、β2为动量校正系数；Q为流量；g为重力加速度。A和yc均为水深h的函数。不计断面下标,上式两边的函数形式相同，均为。在给定Q的情况下,这是水深h的函数，称为水跃函数θ(h)。这样, 式(1)可以简单地写作θ(h1)=θ(h2)。θ(h)与h的关系曲线如(图2)所示。跃前、跃后水深虽不相等 (h2>h1),但它们的水跃函数值却相同，因此把它们称为共轭水深。当已知流量、渠道断面尺寸及一个水深时,利用式(1)可求得另一水深。对于宽为b的矩形断面，可直接由式(1)解得：

(2)

式中q=Q/b为单宽流量。

水跃前后两断面的距离称为水跃长度Lj。它是泄水建筑物消能设计的重要依据之一，其值多由经验公式估算。例如：

(3)

式中Fr1为跃前断面的弗劳德数。 随着跃前断面水流湍急程度（用 Fr1表示）的不同，水跃有不同的形态（图3）。其中波状水跃无水面旋滚;摆动水跃有射流自底部间歇地向上窜升,旋滚较不稳定，跃后水面波动较大。就消能效果而言,Fr1越大效果越好。

水跃研究的内容还有水跃纵剖面形状、水跃位置的确定和控制、水跃能量损失等。工程中还常遇到非平底或非棱柱形渠道中的水跃，已有很多研究成果。

明渠水跃实验

明槽水流由小于临界水深的急流过渡到大于临界水深的缓流所发生的水面局部跃起现象，称为水跃。图示为一闸孔出流后形成的水跃，上部为激烈翻腾的表面旋滚，底部为流速急剧的主流，二者之间的交界面上流速梯度很大，产生漩涡和质量交换，水流内部产生剪切摩擦与混掺，因而消耗能量较大。水利工程中常利用水跃作为一种有效的消能方式。

顺坡折坡水跃方程的评述与改进

摘 要 推导顺坡水跃方程的两种基本假定，实质上都是水跃区水面线直线化的处理。在这样假定基础上，本文近似地视折坡水跃为tgθ'的顺坡水跃，得到了试验资料[2]的验证。

关键词 水跃方程，顺坡水跃，折坡水跃，折线水跃。

本文于1998年11月23 日收到。

使用较广的明渠顺坡水跃、折坡水跃和折线水跃属同一类具有顺坡水重作用的水跃。

金兹瓦特(1944)[1]引入水跃形状系数φ，导出顺坡水跃方程：

(1)

普雷德(1957)[2]通过94组水槽试验提供φ=f(tgθ)经验曲线。才使得式 (1)得到广泛使用。

普雷德[2]还通过100组试验给出折坡水跃的图解曲线。王瑞彭(1987)[4]引用金氏假定，通过详细分析导出折坡水跃方程

(2)

并由普氏资料给出系数K=f(Ls/Lb,tgθ) 的经验曲线，式(2)形式简单，为许多文献[5]所采用。

本文详细研究了推导顺坡水跃方程的两种基本假定，及其水跃形状系数φ，在此基础上，由理论分析认为，折坡水跃可按坡度为tgθ'的顺坡水跃处理，其中 tgθ'=(Ls/Lb)tgθ,而K=1，由此改进了式(2)，结果亦与普氏资料一致。按类似方法，本文进一步推导了平台加折坡的折线式水跃方程，亦得到工程试验资料的初步检验。

1 顺坡水跃方程的两种基本假定

如图1(a)所示二元顺坡明渠，对断面①和跃后断面②列动量方程，得到：

(γq2/g)(1/h2b-cosθ/h1)=γ/2(h1/cosθ)2-(γ/2)h2b2+Wtgθ,

(3)

式中θ为顺坡与水平面的夹角，q为单宽流量，W为水跃体的水重。注意，当以水平轴为投影轴时，水跃体水重作用是以斜坡边界上静水总压力水平方向分力来反映的。?

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(a)顺坡水跃 (b)折坡水跃

图1 顺坡和折坡水跃示意

希望精确地确定W值是很困难的，这需要知道水跃水面线方程以及水跃段内含气水流的平均容重γ'。成都科大[3]引入大于1的系数 k，计及水跃水面线的非直线性，则：

W=γ'2k(h2b+h1/cosθ)Lb,

式中Lb为顺坡水跃长度。实际处理时，考虑到γ'/γ<1，而(γ'/γ=k→1，可近似令γ'k=γ，于是将水跃区水面线直线化，即水跃段的单宽水重为：

W=γ/2(h2b+h1/cosθ)Lb.

(4)

将式(4)代入式(3)，得到顺坡水跃的三次方程：

(h2b/h1)3-(Lb/h1)tgθ(h2b/h1)2-sec2θ+(Lb/h1)secθtgθ+2Fr12cosθ)h2b/h1+2Fr12=0,

(5)

式中为跃首断面佛氏数。

金兹瓦特[1]令：

W=γφ(h2b+h1/cosθ)(h2b-h1/cosθ)

(6)

得到式 (1).比较式(4)和式(6)，可知：

Lb/h1=2φ(h2b/h1-secθ)

(7)

即式(4)和式(6)两种基本假定以式(7)相联系。把式(7)代入式(5)，同样可简化为式(1).

参阅图1(a)，由几何比例关系并与式(7)比较，可知φ的几何意义为：

(Lb+Lφ/h2b)=(Lφ/h1)cosθ=2φ。

(8)

不难看出，以h1/cosθ为底的小三角形面积为φ(h1/cosθ)2，而以h2b为底的大三角形面积为φh2b2，所以顺坡上梯形水跃区的面积即为φh2b2-h12cos2θ，由此可得金氏的式(6)假定。从式(8)来看，称φ为顺坡水跃形状系数尚算贴切，而上述论证则说明：式(4)和式(6)假定在本质上是相同的，都是水跃水面线直线化的模式，不过，φ值试图借助试验计及水跃区水面线的非直线性。

式(1)的计算精度与φ值有关，所以有必要研究一下φ的相关因素，金氏根据1∶6坡试验资料曾给出φ=2.58-0.21Fr21的关系[1]。普氏指出φ与tgθ有明显关系[2]。若从式(7)或者式(8)中用式(1)消去h2b/h1, 整理所得关于Φ(=2φ)的三次方程：

2tgθΦ3+[3(Lb/h1)cosθtgθ+2Fr12cos3θ-2]Φ2+[(Lb2/h12)cos2θtgθ-3(Lb/h1)cos]θΦ-(Lb2/h12)cos2θ=0.

(9)

虽是水跃水面线直线化的结果，但能够说明φ与Fr1及tgθ之间的关系，将φ的试验值与之相比较，可知其对基本假定的偏离情况，Lbh1的精度对φ影响很小，顺坡水跃长度采用下述经验公式[3]：

Lb/h1=10.8(1+0.6tgθ)(Fr1-1)0.93。

(10)

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图2 φ与tgθ和Fr1的关系

在图2中，实线表示式(9)的计算值，点据系式(1)反算的普氏资料。可以看出：①在试验精度范围内，φ对Fr1可视为常数，φ的试验误差主要是h2b/h1决定的。②φ主要是tgθ的函数。③当tgθ较大Fr1较小时，试验φ值对基本假定符合较好；当tgθ较大Fr1较大时，φ的试验值有偏小趋势，可能因为掺气影响增大，使γ'k<1；当 tgθ较小时，φ的试验误差比较大，这是因为h2b/h1的误差是与φtgθ相匹配的。综合来看，实测φ对基本假定的偏离并不是预料的那么样：由于将水跃水面线直线化，实测φ可能是偏大的。只有当tgθ较小时，试验φ值从总体来看是偏大的，因为当跃前佛氏数相同时，较小的顺坡坡度有相对较陡的水跃纵剖面线，最有可能从γ'k大于1的方向偏离直线化假定，但tgθ较小时，φtgθ对h2b/h1计算误差影响比较小。

综上所述，可以证明：在计算顺坡类水跃的顺坡水重作用时，将水跃水面线直线化的处理是可行的，至于水跃形状系数φ，在忽略Fr1影响时可按图2附表列出的试验均值[2]取用，或采用下式：

(11)

该式比较适合于Fr1=3～8，普氏顺坡试验资料大多数在这个范围。

2 折坡水跃方程的改进

对于分析难度较大的折坡水跃，长期以来，工程界一直查用普雷德的试验曲线[5]。在分析折坡水跃时存在一个数学悖理，参阅图 1(b)，当以水平轴为投影轴时，顺坡水重作用只须计及①～②断面间的水重；但是，如果以顺坡L轴为投影轴，则需要考虑①～③断面间整个水跃区的水重。多数人认为应该按前者分析。实际上，对于较复杂的水跃边界条件，不能简单取轴应用数学分析，需要简化，或用数值模型来求解，因为水流是连续介质，当一个隔离体被分成两部分时，必须考虑中介断面的力学连续性，如附加惯性力等。这样，对于①～②之间的水体需要考虑斜坡上的反力作用，而对于②～③之间的水体则需要考虑断面②对这部分水体的顺坡惯性作用。

王瑞彭[4]同样对①～②之间计算水重作用，但是通过拟合分析用试验资料来决定未知数K.实际上，K不是未知数，因为根据上节论述，按水跃水面线为直线的假定，可以通过几何比例关系把断面②的设定水深hs与跃后水深h2c相关，但是因为没有考虑顺坡惯性作用，所得结果明显偏小。

为了考虑附加顺坡惯性力，把折坡水跃视为坡度等于tgθ'的顺坡水跃，θ'为跃首至跃尾断面的底部连线与水平面的夹角，参见图1(b)，这样，在概念上可使用几近水跃整体的水重。显然，这种简化方法最终得到的折坡水跃方程与式(1)形式相同，即：

(12)

式中φ'=f(tgθ',Fr1),tgθ'=(Ls/Lc)tgθ, 一般认为Lc≈Lb.

按式(12)验算了普氏的全部资料，列出计算误差最大的部分于表1，并与王瑞彭方法做了比较，两种方法均用到比值Ls/Lb. 为充分论证本文方法的可行性，我们同样按王瑞彭方法，根据h2b和φ用式(7)来计算Lb(如按经验公式 (10)计算较简便)，因为tgθ'是变数，希望有个计算φ的表达式。但是普氏折坡资料Fr1在8.8～14.2之间，前述式 (11)是近似的，用以计算与之成正比的h2b，再计算Lb，误差将经过两、三次放大，为了相对精确地确定 φ，又避免解式(9)繁琐的三次方程，经过反复研究，将图2曲线用以下拟合精度很高的回归方程组来代替：

(13)

由表1来看，两种方法的误差在同一水平，误差分布也基本一致。从较大坡度tgθ=0.30一组资料来看，本文方法亦没有顺坡水重作用算大了之嫌。

3 折线水跃方程的推导

参阅图3，称平台加折坡为折线消力池，折线水跃的第一共轭水深发生在平台上，象平底明渠水跃一样，折线水跃有自由、临界和淹没三种流态。按上节类似方法，推导折线水跃方程已不太困难，仅是一种重要推论，动量方程可列为：

(γq2/g)(1/h2d-1/h1)=(γ/2)h12-(γ/2)h2d2+Wstgθ"

(14)

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(a) 折线水跃 (b) 工程示例

图3 折线水跃示意

式中Ws可按折坡起点至跃后断面的坡度tgθ"以上的水重计算，即

Wstgθ"=(γ/2)(h2d+hs)L"dtgθ",

(15)

式中hs为折坡起点处的设定水深，h2d为折线水跃跃后水深，L"d为从折坡起点算起的折线水跃长度。由几何比例关系可得：

hs=h1+L'd/Ld[h2d-(h1+a')]，

(16)

表1 折坡水跃h2c的计算值及其比较

普雷德试验资料 本文方法(式[12]) 王瑞彭方法(式[2])

tgθ Fr1 h1 h2c Ls tgθ' φ' h2c 误差 φ Ls/Lb K h2c 误差

(ft) (ft) (ft) (ft) (%) (ft) (%)

0.05 14.18 0.063 1.390 6.0 0.039 2.83 1.401 0.8 2.87 0.746 0.784 1.403 0.9

11.16 0.101 1.745 6.0 0.031 3.00 1.715 -1.7 0.602 0.647 1.716 -1.6

9.90 0.139 2.040 6.0 0.025 3.09 2.048 0.4 0.499 0.546 2.049 0.5

0.10 13.46 0.067 1.440 4.8 0.061 2.68 1.514 5.2 2.47 0.567 0.656 1.514 5.1

13.40 0.065 1.660 6.3 0.082 2.51 1.572 -5.3 0.783 0.851 1.581 -4.7

10.70 0.102 1.940 6.0 0.062 2.74 1.841 -5.1 0.604 0.684 1.841 -5.1

9.31 0.142 2.180 4.8 0.041 2.96 2.070 -5.1 0.403 0.478 2.064 -5.3

12.72 0.076 1.375 2.2 0.026 2.99 1.445 5.1 0.247 0.296 1.438 4.6

12.72 0.076 1.340 1.7 0.020 3.05 1.417 5.8 0.191 0.229 1.410 5.2

0.15 12.97 0.075 1.365 1.1 0.019 3.05 1.416 3.8 2.07 0.126 0.169 1.409 3.2

11.49 0.099 1.600 1.2 0.017 3.12 1.644 2.7 0.118 0.159 1.635 2.2

12.97 0.069 1.530 4.0 0.074 2.58 1.567 2.4 0.498 0.615 1.567 2.4

10.70 0.104 1.810 4.2 0.062 2.74 1.870 3.3 0.425 0.538 1.866 3.1

13.33 0.065 1.590 5.1 0.098 2.40 1.641 3.2 0.655 0.774 1.659 4.4

12.46 0.068 1.230 1.8 0.035 2.92 1.302 5.9 0.237 0.309 1.292 5.0

0.20 12.66 0.071 1.720 4.4 0.105 2.37 1.737 1.0 1.79 0.545 0.709 1.758 2.2

12.14 0.073 1.280 1.2 0.029 2.98 1.327 3.7 0.151 0.221 1.316 2.8

10.55 0.105 1.890 3.3 0.063 2.73 1.860 -1.6 0.335 0.470 1.851 -2.1

13.54 0.063 1.605 3.7 0.093 2.43 1.585 -1.3 0.482 0.640 1.591 -0.9

10.56 0.105 1.900 3.9 0.074 2.64 1.936 1.9 0.396 0.543 1.933 1.7

9.50 0.143 2.180 3.9 0.060 2.78 2.259 3.6 0.325 0.456 2.245 3.0

0.25 12.54 0.071 1.755 4.1 0.120 2.37 1.737 1.0 1.79 0.545 0.709 1.758 2.2

12.81 0.070 1.445 2.2 0.064 2.67 1.503 4.0 0.266 0.412 1.486 2.8

9.29 0.145 2.140 2.3 0.043 2.94 2.100 -1.9 0.188 0.299 2.074 -3.1

9.29 0.145 2.090 1.6 0.030 3.06 2.005 -4.1 0.131 0.212 1.948 -3.3

9.39 0.144 2.010 1.2 0.023 3.14 1.960 -2.5 0.098 0.161 1.943 -3.3

9.37 0.144 2.210 3.6 0.068 2.71 2.291 3.7 0.294 0.451 2.270 2.7

0.30 11.94 0.110 2.070 4.5 0.155 2.07 1.997 -3.5 1.39 0.561 0.813 2.116 2.2

9.87 0.074 2.300 4.5 0.124 2.28 2.220 -3.5 0.460 0.712 2.299 0.0

8.83 0.150 2.570 4.5 0.101 2.46 2.505 -2.5 0.379 0.613 2.546 -0.9

11.96 0.079 1.840 3.4 0.109 2.35 1.834 -0.3 0.396 0.635 1.866 1.4

10.36 0.106 2.025 3.4 0.092 2.50 2.018 -0.4 0.343 0.565 2.036 0.5

9.18 0.146 2.300 3.4 0.075 2.65 2.320 0.9 0.283 0.477 2.317 0.7

其中：

a'=L"dtgθ"=Lstgθ=Ldtgθ'

(17)

对于折线水跃整体仍采用金氏假定，即：

Ld=2φ'(h2d-h1)

(18)

把式 (16～17)代入式(15)，并利用式(18)，整理得到：

Wstgθ"=(γ/2)(h2d+h1)(h2d-h1)·2φ'Kdtgθ'

(19)

式中θ' 同样为跃首至跃尾断面的底部连线与水平面的夹角，系数：

Kd=1+L'd(1-2φ'tgθ'/Ld+4φ'h1)

(20)

式中Ld为折线水跃的长度，L'd=Ld-L"d为跃首至折坡起点的长度。

把式(19)代入式(14)，最后得到折线水跃方程：

(21)

式中折线水跃的形状系数φ'仍以 tgθ'为参数按式(11)或式(13)计算。仍然认为折线水跃长度近似等于相应的顺坡水跃长度，即Ld≈Lb，按式(10)计算。由式(20)来看，Kd>1，但其中涉及的L'd必须是已知的，这对有闸门控制的临界折线水跃可以近似确定。

因为做系统试验必须有专门设备，这里仅以何巷闸工程水槽模型资料做为粗略检验。模型模拟一孔，原型孔宽8.0m，墩宽1.2m，收缩比0.87，参阅图 3(b).与二元计算相比，试验多了闸墩后扩散和闸墩反力两种不同作用。将实测下游水深除以收缩比，近似修正扩散影响，由于还多闸墩反力，二元计算值将比扩散修正值偏小，如表2所示。对修正方法作进一步考虑，与式(21)符合更好[6]。

表2 h2d计算值

试验各参数值 计算h2d及误并差

tgθ Fr1 h1 h2d* Ls L'd h2b Ld Ls/Ld tgθ' φ' Kd h2d 误差

(m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (%)

0.25 5.15 0.614 5.724 8.0 2.4 9.575 28.6 0.280 0.070 2.71 1.042 5.452 -4.8

0.25 3.38 1.239 6.903 8.0 1.0 12.00 34.4 0.233 0.058 2.83 1.014 6.658 -3.6

注：为实测值除以收缩比(=0.87)的修正值。

4 总 结

1.顺坡类水跃方程在计算顺坡水重作用方面的基本假定，是将水跃水面线直线化的概化模式，通过对有关资料的分析和论证，说明这种模式考虑到掺气影响是可行的。

2.以往分析折坡水跃仅计及斜坡上的水重作用，计算的跃后水深明显偏小。本文认为，当一个隔离体被分成两部分分析时，应该考虑中介断面的力学连续性及其附加惯性力。本文近似视折坡水跃为坡度等于tgθ'(参见图1，b)的完整顺坡水跃，所得结果与普氏试验资料是相符的。

3.在上述假定和思想的基础上，折线水跃方程的推导成为重要推论。推导结果得到水槽工程试验资料的初步检验。

参考文献

1 Kindsvater C.E.,The hydraulic jump in sloping channel.Trans of ASCE,Vol.109,1944,pp.1107.

2 Bradly,J.N.,Peterka A.J.,Hydraulic design of stilling basins:stilling basin with sloping apron(Basin V).Journal of the Hydraulics Division,Proc.ASCE,Vol.83,No.HY5,1957.

3 成都科学技术大学水力学教研室编，水力学(上册)，人民教育出版社，1979，pp.367～371.

4 王瑞彭，折坡消力池水跃水力计算，水利学报，1987，(2).

5 毛昶熙，周名德，柴恭纯。闸坝工程水力学与设计管理。水利电力出版社，1995，pp.31～33.

6 王学功,王军。折线消力池水力计算的新方法，安徽水利科技，1999，(1).

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