数量积：

定义

向量数量积运算规律

平面向量数量积的坐标表示

平面向量数量积在高中平面几何的应用

数量积：

shù liàng jī

又称“内积”、“点积”，物理学上称为“标量积”。

定义

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。

两向量α与β的数量积：α·β=|α|*|β|cosθ；其中|α|、|β|是两向量的模，θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。若有坐标α(x1,y1,z1) ；β(x2,y2,z2)，那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2；　|α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)；|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)。

因此，用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|。

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积)

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b（"·“不可省略，若用“×”则成了向量积）

向量数量积运算规律

1.交换律：α·β=β·α

2.分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ

3.若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)

若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)

4.α·α=|α|^2 ，此外：α·α=0〈=〉α=0。

向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0 ≠〉β=γ。

向量的数量积不满足结合律，即一般（α·β)·γ ≠〉α·（β·γ）

相互垂直的两向量数量积为0

平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

平面向量数量积在高中平面几何的应用

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等

如证明勾股定理：

Rt△ABC中，∠C=90°，则|CA|+|CB|=|AB|：

因AB = CB-CA，

所以AB·AB =（CB-CA）·（CB-CA）= CB·CB-2CA·CB+CA·CA;

由∠C=90°，有CA⊥BD，于是CA·CB=0

所以|CA|+|CB|=|AB|

菱形对角线相互垂直：

菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD

设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

因AC=AB+BC;BD=BC+CD

所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）

又因为cosα=-cosπ-α

所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）=0

AC⊥BD