词条 | 三斜求积术 |
释义 | 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。 简介《数书九章》(Mathematical Treatise in Nine Sections) : 三斜求积术 问沙田一段,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里。…欲知为田几何? 以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之为实,…开平方得积。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,减中斜平方,取余数的一半,自乘而得一个数.小斜平方乘以大斜平方,减上面所得到的那个数。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜所以: q=1/4{c^2a^ 2-[(c^2+a ^2-b ^2)/2]^ 2} 当P=1时,△^2=q, =√{1/4{c^2a^ 2-[(c^2+a ^2-b ^2)/2]^ 2} 分解因式 (两边平方)得 1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =S(S-b)(S-a)(S-c) 由此可得: =[s(s-b)(S-a)(S-c) 其中S=1/2(a+b+c) 作者简介秦九韶(1208年-1261年)南宋官员、数学家,与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古,自称鲁郡(今山东曲阜)人,生于普州安岳(今属四川)。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学,历任琼州知府、司农丞,后遭贬,卒于梅州任所,著作《数书九章》,其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。 秦九韶是一位既重视理论又重视实践,既善于继承又勇于创新,既关心国计民生,体察民间疾苦,主张施仁政,又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》,是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页,对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源(1834-1894)称赞说:“秦九韶能于举世不谈算法之时,讲求绝学,不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M.康托尔(Cantor,1829-1920)高度评价了大衍求一术,他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton,1884-1956)说过,秦九韶是“他那个民族,他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。 延伸海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦 (Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。海伦公式与三斜求积术是完全等价的。 原理简介我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。 假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 ————————————————————————————————————————————— 注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。 ————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。 证明过程(1) 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] (2) 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P=1时,△ 2=q, =√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得 ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得: S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。 S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题: 已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边) 代入解得s=8√ 3 (3) 在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) (4) 通过正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1) |
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