证明方法

重要的几何不等式(Ptolemy（托勒密）不等式 Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式 Weitzenberk（外森比克）不等式： Euler（欧拉）不等式 Fermat（费马）问题 等周定理（等周不等式）)

几何问题中出现的不等式称为几何不等式

证明方法

证明几何不等式的方法大致有三种：几何方法，代数方法，三角方法。

几何方法：通过一些变化或者平移旋转来证明。

代数方法：也就是方程。

三角方法（函数法）：利用三角函数来证明。

重要的几何不等式

Ptolemy（托勒密）不等式

若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。等号成立ÛA,B,C,D四点共圆

证明：

在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因为△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

又有比例式AB/AC=AE/AD

而∠BAC=∠DAE

所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

所以命题得证

Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式

设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则

x+y+z≥2*(p+q+r)

证明：

设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则

x+y+z≥2*(p+q+r)

证法二 因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。

在ΔPEF中，据余弦定理得:

EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)

=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，

所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即

PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。

同理可得:

PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)，

PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。

(1)+(2)+(3)得:

x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命题成立。

Weitzenberk（外森比克）不等式：

若a,b,c为三角形三边长，S是三角形面积,

则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S

等号成立当且仅当ABC为等边三角形。

定理证明如下： 由海伦公式，三角形面积可表示为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2

则：4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

由于三角形任意两边之和大于第三边，所以根号里各项都是正数，

由均值不等式可得：

4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}

=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)

=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(ca)^2]/(3√3)

≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

即：4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

整理得

a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 证毕。

当且仅当a=b且c=π/3即三角形ABC为正三角形时取等。

Euler（欧拉）不等式

设DABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当DABC为正三角形时取等号。

证明：

由欧拉定理，d=sqrt(R(R-2r)),又d>0,

所以R-2r≥0,即R≥2r.

当且仅当d=0即内心与外心重合时取等。

此时三角形ABC为正三角形。

Fermat（费马）问题

在DABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的P点称为费马点。当ÐBAC³120时，A点为费马点；当每个内角钧小于120时，则与三边张角为120的P点为费马点。

等周定理（等周不等式）

①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。

②周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。