黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数。 任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数。

简介

神秘的6174－黑洞数

6174有什么奇妙之处

黑洞数的性质及应用(简介 定义1 整数黑洞数 模式黑洞数 方幂余式黑洞数 方幂余式黑洞数性质及应用 另外一种简单的黑洞数)

简介

举个例子，三位数的黑洞数为495

简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693

按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495

之后反复都得到495

再如，四位数的黑洞数有6174

但是，五位数及五位以上的数还没有找到对应的黑洞数

神秘的6174－黑洞数

随便造一个四位数，如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2=8621，再把1628的四个数字由小到大排列得a3=1268，用大的减去小的a2-a1=8621-1268=7353，把7353按上面的方法再作一遍，由大到小排列得7533，由小到大排列得3357，相减7533-3367=4176

把4176再重复一遍：7641-1467=6174。

如果再往下作，奇迹就出现了！7641-1467=6174，又回到6174。

这是偶然的吗？我们再随便举一个数1331，按上面的方法连续去做：

3311-1133=2178 8721-1278=7443 7443-3447=3996 9963-3699=6264

6642-2466=4176 7641-1467=6174

好啦！6174的“幽灵”又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全的四位数，最多运算7步，必然落入陷阱中。

这个黑洞数已经由印度数学家证明了。

在数学中由有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学中得到更多的乐趣。

苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开迷雾。

6174有什么奇妙之处

请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但这四个数不准完全相同或有完全相同趋向，例如 3333、7777、7337等都应该排除。

写出四位数后，把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，又得到一个最大的数和最小的数，两者相减……这样循环下去，一定在经过若干次（最多7次）变换之后，得到6174。

例如，开始时我们取数8208，重新排列后最大数为8820，最小数为0288，8820—0288=8532；对8532重复以上过程：8532－2358=6174。这里，经过两步变换就掉入6174这个“陷阱”。

需要略加说明的是：以0开头的数，例如0288也得看成一个四位数。再如，我们开始取数2187，按要求进行变换：

2187 → 8721－1278=7443→7443－3447=3996→9963－3699=6264→6642－2466=4176→7641－1467=6174。

这里，经过五步变换就掉入了“陷阱”——6174。

拿6174 本身来试，只需一步：7641－1467=6174，就掉入“陷阱”再也出不来了。

所有的四位数都会掉入6174设的陷阱，不信可以取一些数进行验证。验证之后，你不得不感叹6174的奇妙。

任何一个数字不全相同整数，经有限次“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。

黑洞数的性质及应用

简介

【摘要】

本文提出建立了黑洞数的概念，分别对整数黑洞数、模式黑洞数、方幂余式黑洞数的一般性质做了阐述。并给出了二元一次方程 ax- by- c =0的求根法则。

【关键词】

黑洞数、 整数黑洞数 、 模式黑洞 数 、方幂余式黑洞数。

【引言】

在日常学习计算中，化简含有未知数的代数式或方程经常会得到x-x=0之结果。此前，人们只是把这种情况定义为“此算式没有意义”而终结。黑洞数理论的出现 ，让人们看到了代数式或方程中未知数可任意取值时的另一层含义。本文提出证明的方幂余式黑洞数定理，揭示出a, m不互素条件下的余数循环规律，它将与欧拉余数定理互为补充，构造出全体整数的方幂式除法余数运算法则。本文给出的二元一次方程ax-by-c=0的求根公式，将成为余数新理论应用的一个范例。

定义1

在含有未知数变量的代数式中，当未知数变量任意取值时其运算结果都不改变，我们把这时的数字结果叫黑洞数。根据运算性质的不同，我们把黑洞数分为以下三种类型：Ⅰ、整数黑洞数 Ⅱ、模式黑洞数 Ⅲ、方幂余式黑洞数

整数黑洞数

在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》中，在建立选加因数概念后，我们证明了整数因数定理：

若a、b都是大于1的整数，且有g = ab，则有：

g+an=a（b+n）

其中 ： n = 0、1、2、3……

根据整数因数定理，我们即可得到如下整数黑洞数

ab+an

--------------- = a

b+n

其中： n = 0、1、2、3 ……

这里，不论未知变量怎样取值，上式的结果都等于a.。

例如：取a=7, b=3，ab=21， 则有：

21+7n

---------------- = 7

3+n

其中： n = 0、1、2、3 ……

应用方面的例子：

全体偶数 = 2 (n) + 2, （ n = 0、1、2、3 ……）

自然数中的全部合数 = 4 +2n + h(2+n)

其中： n = 0、1、2、3 ……

对n的每个取值都重复取

h = 0、1、2、3 ……

模式黑洞数

模式黑洞数是指模的同余式mn+L条件下的黑洞数。 在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》一文中，模根因数定理（1）式：

若 a>1， b>1，且 ab = mk + L，则有：

m（k+aN）+L

-------------------------- = a

b+mN

其中：N = 0、1、2、3 ……

这时的a值就是模式黑洞数。

应用实例：

取a=7， b=13, 则 ab= 91=mk + L = 2×45×1

2（45+7N）+1

根据上式得到：-------------------------- =7

13+2N

其中：N = 0、1、2、3 ……

应用实例：素数通式定理

若ap是同余式2N+1模根数列的条件剩余数，

当 ap ≠ 4 + 3n + h (3 +2n ) 时

其中：n = 0、1、2、3 ……

对n的每个取值都重复取

h = 0、1、2、3 ……

则条件通式 2+1 的值恒是素数。

模式黑洞数性质是我们建立素数代数理论体系的根本前提。

方幂余式黑洞数

在方幂余式除法 a^n÷m ≡L关系中，当得到 L^n÷m ≡L 时 (n = 1、2、3 ……), 我们称这时的L为因数a的m值黑洞数。

例如：在 3×5 = 15 关系时

我们得到： 3^4÷15 ≡ 6

这时有： 6^n÷15 ≡ 6 （n = 1、2、3 ……）

所以我们称6是因数3的15值的方幂余式黑洞数。

为了方便,我们引入符号 ⊙（m）a = L 来表示方幂余式黑洞数关系。即上式结果可表示为 ⊙（15）3 = 6，符号“⊙”在这里读作黑洞数。

下面我们将证明方幂余式黑洞数定理；

定理1： 如a>1， b>1，（a ，b）=1 且 ab = m ；

则有：a^ф（b）≡⊙ （mod m）

即这时：⊙^n ≡⊙ （mod m）

其中：n = 1、2、3 ……

证：我们分别对b为素数，b为素数乘方，b为多个素数乘积时的情况加以证明。

当b为素数时：

取a=7， b=19， 则 ab = 7×19 = 133

由定理关系得到：

7^ф（19）=7^18≡77 （mod 133）

而 77^n≡77 （mod 133） 此时定理关系成立

当b为素数的n次乘方时：

取 a = 7， b=5^2=25， 则 ab = 7×25 = 175

由定理关系得到：

7^ф（25）=7^20≡126 （mod 175）

而 126^n≡126 （mod 175） 此时定理关系也成立

当b为多个素数乘积时：

取 a = 7， b= 3×11=33，则 ab = 7×33 = 231

由定理关系得到：

7^ф（33）=7^20≡133 （mod 231）

而 133^n≡133 （mod 231） 所述定理关系式成立

故定理1得证

方幂余式黑洞数性质及应用

1、因数a的黑洞数减1的平方除m的余数是因数b的黑洞数；

即：如 ⊙(m)a = e1， 则 (e1-1)^2÷m ≡ e2 = ⊙(m)b

2、m所含黑洞数的个数等于m所含素因数个数做为2底方次数减2；

即：m为素数没有黑洞数

m有2个素因子时有2^2-2 = 2个黑洞数

m含有3个素因子时有2^3-2 = 6个黑洞数

3、在m定值后，如果把全部 an (n = 1、2、3 …… 但n≠b) 值都做为底数，这时的

a^c÷m≡⊙的c值变化规律。与m的余数循环节a^c÷m≡1规律具有相同的变节和不变节特性。

即： 若 7^10≡⊙ （mod m） 关系成立，

则 （7^2）5≡⊙ （mod m） 关系也成立；

应用方面的例子：

若 b>c ，我们有以下二元一次方程 ax -by -c = 0 求根法则：

首先： 取 ab = m

计算： a^ф（b）÷m ≡ ⊙

计算： ⊙×c ÷m ≡S1

计算： （⊙-1）×c ÷m ≡S2

x =S1÷a

这时

y =S2÷b

这时的 x，y 值是方程的最小整数根。

但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：

x = S1÷a + b n

y = S2÷b + a n

其中：n = 0、1、2、3 ……

实例1：求方程 13x- 7y -3 = 0 的最小整数根和全部整数根？

首先： 取13×7 = 91

计算： 13^ф（7）=13^6÷91 ≡ 78

计算： 78×3÷91 ≡52

计算： （78-1）×3÷91 ≡49

x =52÷13=4

这时

y =49÷7=7

这时的 x，y 值是方程的最小整数根。

但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：

x = 4 + 7n

y = 7 + 13n

其中：n = 0、1、2、3 ……

实例2：求方程 13x- 8y +4 = 0 的最小整数根和全部整数根？

首先： 取13×8 = 104

计算： 13^ф（8）=13^4÷91 ≡ 65

计算： 65×（-4）÷104 ≡ -52≡52

计算： （65-1）×（-4）÷104 ≡ -48≡56

x =52÷13=4

这时

y =56÷8=7

这时的 x，y 值是方程的最小整数根。

但方程 13x- 8y +4 = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：

x = 4 + 8n

y = 7 + 13n

其中：n = 0、1、2、3 ……

另外一种简单的黑洞数

可称西西弗斯数。相传，西西弗斯是古希腊时一个暴君，死后被打入地狱。此人力大如牛，颇有蛮力，上帝便罚他去做苦工，命令他把巨大的石头推上山。他自命不凡，欣然从命。可是将石头推到临近山顶时，莫明其妙地又滚落下来。于是他只好重新再推，眼看快要到山顶，可又“功亏一篑”，石头滚落到山底，如此循环反复，没有尽头。 现在随便选一个很大的数，作为一块“大石头”43005798。我们以此为基础，按如下规则转换成一个新的三位数。百位数是8位数中的偶数个数（0作为偶数），十位数是8位数中奇数的个数，个位数是原数的个数。于是得出新数为448，448作同样的变换，3个偶数，百位数是3，奇数有0个，一共3位数。于是就得出303，再经转换就得到123。一旦得到123后，就再也不变化了。好比推上山的石头又落到地上，一番辛苦白费。

如果你有兴趣，可以换上别的自然数来试。尽管步数有多有少，但最后总归是123。

如2007630。偶数个数为5，奇数个数为2，一共7位数，则得新数为527，结果还是百位数为1。因为只有1个偶数。因为奇数个数为2，所以十位数为2。一共3位数，最后还是进入“黑洞数”123。

有人还是不服气，西西弗斯没有本领把大石头推上山，带一块小石头总可以吧。那就是你不知道“黑洞”的厉害，这个禁区不讲情面，金科玉律不可违背。

如选个1，根据上面的变换规则，百位数为0（无偶数），十位数即奇数为1，只有1位数，即为011，最后还是黑洞数123。

如以11计算，则可转换为022→303→123。