词条 | 合比性质 |
释义 | 合比性质是数学分数计算中常用的性质之一,属于合分比性质中的三大性质之一(包括合比性质、分比性质和合分比性质)。主要运用于三角函数等计算。 原理简介在一个比例里,第一个比的前后项的和与它后项的比,等于第二个比的前后项的和与它的后项的比,这称为比例中的合比定理,这种性质称为合比性质。 用字母表达为:若a/b=c/d,则(a±kb)/b=(c±kd)/d(b≠0、d≠0) 推导过程当b≠0且d≠0时 a/b=c/d a/b±k=c/d±k a/b±kb/b=c/d±kd/d (a±kb)/b=(c±kd)/d 相关性质分比性质: 在一个比例里,第一个比的前后项的差与它的后项的比,等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比。 字母表达:若a/b=c/d,则(a-b)/b=(c-d)/d (b≠0、d≠0) 合分比性质: 在一个比例里,第一个比的前后项的和与它的前后项的差的比,等于第二个比的前后项的和与它的前后项的差的比。 字母表达:若a/b=c/d,则(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)(a≠b,c≠d,b≠0,d≠0) 等比性质: 若a1/b1=a2/b2=a3/b3=...=an/bn 则a1/b1=a2/b2=...=(a1+a2+a3+...+an)/(b1+b2+b3+...+bn)=a1/b1 习题举例如图,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,EF是AD的垂直平分线且交AB于E,交BC的延长线于F,求证:DC·DF=BD·CF分析: 欲证:DC·DF=BD·CF 即证:DC/CF=BD/DF 即证:(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF 若连结AF,则AF=DF 故即证:AF/CF=BF/AF 只需证△FAB∽△FCA 证明: 连结AF,则AF=DF,∠FAD=∠FDA ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∵EF是AD的垂直平分线 ∴AF=DF ∴∠FDA=∠FAD 又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF,∠FDA=∠B+∠BAD ∴∠B=∠CAF ∴△FAB∽△FCA。 |
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