广勾股定理

（余弦定理）

勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”．如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了．

广勾股定理：在任一三角形中，

(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍．

(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍．

证明：

设△ABC中，BC是锐角A的对边(图2－4)．作CH⊥AB于H，

根据勾股定理：BC^2 = BH^2 + CH^2

而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2

带入后有：BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2

简化后：BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AH 式（1）

同理可证明钝角时的结论。

推广（高中余弦定理的导出）：

设：CosA = AH/AC

则：AH = AC·CosA 代入式（1）则有：

BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AC·CosA