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词条 更相减损术
释义

简介

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

算法思想

《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言如下:

第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。

第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”,就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

实例

例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。

解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减:

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以,98和63的最大公约数等于7。

例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。

解:由于260和104均为偶数,首先用2约简得到130和52,再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数,故把65和26辗转相减:

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以,260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2,即13*2*2=52。

与辗转相除法的比较

辗转相除法也可以可以用来求两个数的最大公约数。

更相减损术和辗转相除法的主要区别在于前者所使用的运算是“减”,后者是“除”。从算法思想上看,两者并没有本质上的区别,但是在计算过程中,如果遇到一个数很大,另一个数比较小的情况,可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果,从而使得算法的时间复杂度退化为O(N),其中N是原先的两个数中较大的一个。相比之下,辗转相除法的时间复杂度稳定于O(logN)。

对“可半者半之”的理解

通常认为,算法描述中的第一步“可半者半之”是指分子分母皆为偶数的时候,首先用2约简。因为更相减损术原先是专用来约分,所以并不用考虑最后计算结果时,要把第一步中约掉的若干个2再乘回去。加入这一步的原因可能是,分母、分子皆为偶数是在分数加减运算的结果中比较容易遇到的一种情况,用这种方法有可能减少数字的位数,简化计算。

当然,省略这个以2约简的步骤,也能得到正确的答案。

BASIC实现

INPUT "m,n=";m,n

i=0

WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0

m=m/2

n=n/2

i=i+1

WEND

DO

IF m<n THEN

r=m

m=n

n=r

END IF

m=m-n

LOOP UNTIL m=0

PRINT “m、n的最大公约数为”;n*2ˆi

END

(黑体部分可以省略,因为,不进行约简,一样可以求出)

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更新时间:2025/3/23 0:11:13