研究范围

背景

非线性板壳理论研究两方面问题

发展历程

求解方法

研究范围

板壳理论研究板和壳体的静力平衡、屈曲、动力和动力稳定四类问题，可根据描述问题的方程的性质分为线性板壳理论和非线性板壳理论。

背景

19世纪末，在英国学者瑞利的影响下，绝大部分力学家都只研究板壳理论的线性问题，即略去方程、边界条件和初始条件中未知量的非线性项的问题。这种数学上的简化使大量板壳问题获得解决，为工业生产提供了有效的设计基础。至今线性板壳理论仍起着重要作用。但如果载荷较大，板壳变形较大，则线性理论就完全不适用。例如20世纪30年代在圆柱薄壳稳定性问题的研究中，实验值低于线性理论值约75％。在现代工业（如航海、航空、航天、仪表工业）中，一方面，由于技术的需要，大量使用能产生大变形的柔韧板和柔韧壳，这类结构形式会引出非线性的载荷-变形关系；另一方面,多种轻型结构采用的新材料本身具有复杂的非线性应力-应变关系,使得板壳理论不得不考虑非线性因素。

非线性板壳理论研究两方面问题

几何非线性问题和物理非线性问题。

在几何非线性问题中，应变分量和位移分量的关系（即几何关系）包含位移分量导数的二阶微量，是非线性的；另外，平衡方程应根据变形后板壳的几何形状导出，因而引出非线性项。

物理非线性问题完全是由非线性的应力- 应变关系引起的。非线性板壳理论主要处理几何非线性问题。

发展历程

第一个研究薄板非线性弯曲理论的是T.von卡门,他在20世纪初建立了薄板大挠度方程组。以后的工作主要是从这个方程组求得简便而又实用的解。卡门和中国学者钱学森在1939年发现：薄壳失稳的临界载荷低于用线性理论求得的值，并且指出必须用几何非线性理论来处理这个问题，从此出现了非线性稳定理论。J.L.辛格和中国学者钱伟长于1940年用张量工具建立了弹性薄板和弹性薄壳的内禀理论。根据这个理论，钱伟长于1943年从分析应变和薄壳曲率的量级入手，对这种内禀理论的各个方程进行不同近似程度的分类，其中有不少是反映几何非线性理论的统一的薄壳方程组，后来被人称为钱伟长方程组。这个方程组对卡门和钱学森所用方程组作了修正，既适用于薄板又适用于各种形式的薄壳。

求解方法

在非线性板壳理论的方程组确定以后，寻求有效而又简单的求解方法就成为非线性板壳理论的主要研究内容。这方面的研究首先集中于若干简单的典型问题，包括圆薄板的大挠度问题、圆底扁薄球壳的往复跳跃问题和圆柱壳在轴向压力下的失稳问题。钱伟长于1947年采用以中心位移和厚度之比作为参量的摄动解法求解了圆板大挠度问题，1948年又用奇异摄动方法求解了固定圆板的极大挠度的问题。这些方法的出现，使得求解某些非线性方程的繁复工作成为可能。这些是国际上最早用系统摄动法成功地处理非线性方程的工作，这种方法至今被国际上某些学者所应用，并称之为“钱伟长法”。

在计算方面，中国学者于60年代提出了修正迭代法和解析- 电算法。修正迭代法和一般迭代法的不同在于，一般迭代法以载荷为参量，而修正迭代法则可采用载荷以外的其他参量，便于改善解的收敛性。因此，在处理某些非线性方程时,修正迭代法有一定的优越性。解析-电算法则能使工作量大为减少并得到所需精度的解。

自从电子计算机问世以来，各种近似数值解法（如有限元法）有很大发展，解决了许多实际问题，不过在非线性板壳理论方面，成效不大，有待进一步发展和完善。

扁球壳往复跳跃问题是一种实用控制元件的理论问题，它是钱伟长在1950年提出来的。它和圆柱薄壳在轴压下失稳问题是同一类薄壳非线性稳定问题。对这两个典型而有实用意义的非线性壳体问题，在最近三十年来有不少实验研究并积累了大量的实验数据，但理论计算结果并不理想，迄未求得和实验数据接近的理论结果。

目前，动力非线性板壳理论问题尚未受到人们的普遍重视。