方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。

概述

公式

定义

计算

几个重要性质

随机变量的期望和方差

统计学的应用(概念 高考实例)

切比雪夫不等式

概述

如下面的例子：

已知某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：

甲仪器测量结果：乙仪器测量结果：两台仪器的测量结果的均值都是 a 。但是用上述结果评价一下两台仪器的优劣，很明显，我们会认为乙仪器的性能更好，因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。

由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便，通常用量

E[(X-E[X])^2] 这一数字特征就是方差。

公式

方差是实际值与期望值之差平方的期望值，而标准差是方差算术平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。

方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数,即s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，^，xn表示个体，而s^2就表示方差。

而当用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。

方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S²。 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 。

定义

设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。

即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。

若X的取值比较集中，则方差D(X)较小

若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。

计算

由定义知，方差是随机变量 X 的函数

g(X)=∑[X-E(X)]^2 pi

数学期望。即：

由方差的定义可以得到以下常用计算公式：

D(X)=∑xi²pi-E(x)²

D(X)=∑（xi²pi+E(X)²pi-2xipiE(X))

=∑xi²pi+∑E(X)²pi-2E(X)∑xipi

=∑xi²pi+E(X)²-2E(X)²

=∑xi²pi-E(x)²

方差其实就是标准差的平方。

几个重要性质

（1）设c是常数，则D(c)=0。

（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。

（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则

D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），

则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况。

（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。

（5）D（aX+bY）=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。

随机变量的期望和方差

随机变量X。

X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)

X服从泊松分布，即X~ π(λ),则 E(X)= λ，D(X)= λ

X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12

X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2)

X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)

X 服从正态分布，即X~N(μ，σ^2), 则E(x)=μ， D(X)=σ^2

X 服从标准正态分布，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1

随机变量求方差的通用公式，即D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

统计学的应用

概念

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S表示。方差相应的计算公式为

标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。

高考实例

（甘肃省，2002年）某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表所示：

班级　参加人数　平均字数　中位数　方差

甲　55　135　149　191

乙　55　135　151　110有一位同学根据上表得出如下结论：

①甲、乙两班学生的平均水平相同

②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）

③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．上述结论正确的是________（填序号）．

解：填①、②、③，

解：甲乙的平均数相同，所以①甲、乙两班学生的平均水平相同．根据中位数可知乙的中位数大，所以②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多．根据方差数据可知，方差越大波动越大，反之越小，所以甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．

故填：①②③．

点评：本题考查统计知识中的中位数、平均数和方差的意义．要知道平均数和中位数反映的是数据的集中趋势，方差反映的是离散程度．

切比雪夫不等式

切比雪夫（Chebyshev）不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在，则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。

在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16

……

与平均相差k个标准差的值，数目不多於1/K^2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。

极差与方差

极差不能用作比较，单位不同 ; 方差能用作比较, 因为都是个比率。