“二分法”的意思、由来-中文百科全书

数学方面

一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。

解方程即要求f(x)的所有零点。

假定f(x)在区间（x，y）上连续

先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],

现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b

①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，

如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2>=a，从①开始继续使用

中点函数值判断。

如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，从①开始继续使用

中点函数值判断。

这样就可以不断接近零点。

通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。

求法

给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.

2 求区间(a,b)的中点c.

3 计算f(c).

(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;

(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;

(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.

(4) 判断是否达到精确度ξ:即若|a-b|<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.

计算机应用

由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。

Java语言

public int binarySearch(int[] data,int aim){//以int数组为例，aim为需要查找的数

int start = 0;

int end = data.length-1;

int mid = (start+end)/2;//a

while(data[mid]!=aim&&end>start){//如果data[mid]等于aim则死循环，所以排除

if(data[mid]>aim){

end = mid-1;

}else if(data[mid]<aim){

start = mid+1;

}

mid = (start+end)/2;//b，注意a，b

}

return (data[mid]!=aim)?-1:mid;//返回结果

}

C语言

方程式为：f(x) = 0，示例中f(x) = 1+x-x^3

使用示例：

input a b e: 1 2 1e-5

solution: 1.32472

源码如下：

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <assert.h>

double f(double x)

{

return 1+x-x*x*x;

}

int main()

{

double a = 0, b = 0, e = 1e-5;

printf("input a b e: ");

scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &e);

e = fabs(e);

if (fabs(f(a)) <= e)

{

printf("solution: %lg\", a);

}

else if (fabs(f(b)) <= e)

{

printf("solution: %lg\", b);

}

else if (f(a)*f(b) > 0)

{

printf("f(%lg)*f(%lg) > 0 ! need <= 0 !\", a, b);

}

else

{

while (fabs(b-a) > e)

{

double c = (a+b)/2.0;

if (f(a)* f ( c ) < 0)

b = c;

else

a = c;

}

printf("solution: %lg\", (a+b)/2.0);

}

return 0;

}

C++语言

[类C编写].

|f(x)|<10^-5 f(x)=2x^3-4x^2+3x-6

#include"iostream"

#include"stdio.h"

#include"math.h"

#define null 0

double fx(double); //f(x)函数

void main()

{

double xa(null),xb(null),xc(null);

{

printf("请输入一个范围x0 x1：");

std::cin>>xa>>xb; //输入xa xb的值

printf("%f %f",xa,xb);

}

while(fx(xa)*fx(xb)>=0); //判断输入范围内是否包含函数值0

{

if(fx((xc=(xa+xb)/2))*fx(xb)<0) //二分法判断函数值包含0的X取值区间

{

xa=xc;

}

else

{

xb=xc;

}

while(fx(xc)>pow(10.0,-5)||fx(xc)<-1*pow(10.0,-5));//判断x根是否在接近函数值0的精确范围内

printf("\ 得数为：%f",xc);

}

double fx(double x)

{

return(2.0*pow(x,3)-4.0*pow(x,2)+3*x-6.0);

}

C++语言中的二分查找法

算法：当数据量很大适宜采用该方法。采用二分法查找时，数据需是排好序的。

基本思想：假设数据是按升序排序的，对于给定值x，从序列的中间位置开始比较，如果当前位置值等于x，则查找成功；若x小于当前位置值，则在数列的前半段中查找；若x大于当前位置值则在数列的后半段中继续查找

，直到找到为止。

假如有一组数为3，12，24，36，55，68，75，88要查给定的值24.可设三个变量front，mid，end分别指向数据的上界，中间和下界，mid=（front+end）/2.

1.开始令front=0（指向3），end=7（指向88），则mid=3（指向36）。因为mid>x，故应在前半段中查找。

2.令新的end=mid-1=2，而front=0不变，则新的mid=1。此时x>mid，故确定应在后半段中查找。

3.令新的front=mid+1=2，而end=2不变，则新的mid=2，此时a[mid]=x，查找成功。

如果要查找的数不是数列中的数，例如x=25，当第三次判断时，x>a[mid]，按以上规律，令front=mid+1，即front=3，出现front>end的情况，表示查找不成功。

例：在有序的有N个元素的数组中查找用户输进去的数据x。

算法如下：

1.确定查找范围front=0，end=N-1，计算中项mid（front+end）/2。

2.若a[mid]=x或front>=end,则结束查找；否则，向下继续。

3.若a[mid]<x,说明待查找的元素值只可能在比中项元素大的范围内，则把mid+1的值赋给front，并重新计算mid，转去执行步骤2；若a[mid]>x，说明待查找的元素值只可能在比中项元素小的范围内，则把mid-1的值赋给end，并重新计算mid，转去执行步骤2。

代码：

#include<iostream>

#define N 10

using namespace std;

int main()

{

int a[N],front,end,mid,x,i;

cout<<"请输入已排好序的a数组元素:"<<endl;

for(i=0;i<N;i++)

cin>>a[i];

cout<<"请输入待查找的数x:"<<endl;

cin>>x;

front=0;

end=N-1;

mid=(front+end)/2;

while(front<end&&a[mid]!=x)

{

if(a[mid]<x)front=mid+1;

if(a[mid]>x)end=mid-1;

mid=front + (end - front)/2;

}

if(a[mid]!=x)

cout<<"没找到！"<<endl;

else

cout<<"找到了！在第"<<mid+1<<"项里。"<<endl;

return 0;

}

MATLAB语言

function y=f(x)

y=f(x); %函数f(t)的表达式

i=0; %二分次数记数

a=a; %求根区间左端

b=b; %求根区间右端

fa=f(a); %计算f(a)的值

fb=f(b); %计算f(b)的值

c=(a+b)/2; %计算区间中点

fc=f(c); %计算区间中点f(c)

while abs(fc)>=ε; %判断f(c)是否为零点

if fa*fc>=0; %判断左侧区间是否有根

fa=fc;

a=c;

else fb=fc;

b=c;

end

c=(a+b)/2;

fc=f(c);

i=i+1;

end

fprintf('\%s%.6f\\t%s%d','c,'迭代次数i=',i) %计算结果输出

快速排序伪代码（非随机）

下面的过程实现快速排序：

QUICKSORT(A，p，r)

1ifp<r

2thenq ← PARTITION(A，p，r)

3　QUICKSORT(A，p，q-1)

4　QUICKSORT(A，q+1，r)

为排序一个完整的数组A，最初的调用是QUICKSORT(A，1，length[A])。

快速排序算法的关键是PARTITION过程，它对子数组A[p..r]进行就地重排：

PARTITION(A，p，r)

1x ← A[r]

2i ← p-1

3forj ← ptor-1

4do ifA[j]≤x

5theni ← i+1

6　exchange A[i]←→A[j]

7　exchange A[i+1]←→A[r]

8returni+1

快速排序伪代码（随机）

对PARTITION和QUICKSORT所作的改动比较小。在新的划分过程中，我们在真正进行划分之前实现交换：

（其中PARTITION过程同快速排序伪代码（非随机））

RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r)

1i ← RANDOM(p，r)

2　exchange A[r]←→A[i]

3return PARTITION(A，p，r)

新的快速排序过程不再调用PARTITION，而是调用RANDOMIZED-PARTITION。

RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，r)

1ifp<r

2thenq ← RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r)

3　RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，q-1)

4　RANDOMIZED-QUICKSORT(A，q+1，r)

Pascal，递归快排1

procedure work(l,r: longint);

var i,j,tmp: longint;

begin

if l<r then begin

i:=l;j:=r;tmp:=stone[i];

while i<j do

begin

while (i<j)and(tmp<stone[j])do dec(j);

if(i<j) then

begin

stone[i]:=stone[j];

inc(i);

end;

while (i<j)and(tmp>stone[i])do inc(i);

if i<j then

begin

stone[j]:=stone[i];

dec(j);

end;

stone[i]:=tmp;

work(l,i-1);

work(i+1,r);

end;

end;//本段程序中stone是要排序的数组，从小到大排序，stone数组为longint（长整型）类型。在主程序中的调用命令为“work(1,n);”不含引号。表示将stone数组中的1到n号元素进行排序。

Pascal，递归快排2

Program quiksort;

//快速排序法

const max=100;

var n:integer;

a:array[1..max] of longint;

procedure sort(l,r: longint);

var i,j,x,y: longint;

begin

i:=l; j:=r; x:=a[(l+r) div 2];

repeat

while a[i]<x do inc(i);

while x<a[j] do dec(j);

if i<=j then

begin

y:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=y;

inc(i); dec(j);

end;

until i>j;

if l<j then sort(l,j);

if i<r then sort(i,r);

end;

begin

//生成数组;

randomize;

for n:=1 to max do

begin

a[n]:=random(1000);

write(a[n]:5);

end;

writeln;

//排序

sort(1,max);

//输出

for n:=1 to max do write(a[n]:5);writeln;

end.

Delphi 递归快排3

type

TNTA=array of integer;

var

A:TNTA;

procedure QuicSort(var Arr:TNTA;AStart,AEnd:Integer);

var

I,J,Sign:integer;

procedure Switch(A,B:Integer);

var

Tmp:Integer;

begin

Tmp:=Arr[A];

Arr[A]:=Arr[B];

Arr[B]:=Tmp;

end;

begin

if AEnd<=AStart then

Exit;

Sign:=(AStart+AEnd)div 2;

{Switch value}

Switch(Sign,AEnd);

{Start to sort}

J:=AStart;

for I := AStart to AEnd-1 do

begin

if (Arr[I]<Arr[AEnd]){ and (I<>J)} then

begin

Switch(J,I);

Inc(J);

end;

Switch(J,AENd);

QuicSort(Arr,AStart,J);

QuicSort(Arr,J+1,AEnd);

end;

procedure TForm1.btn1Click(Sender: TObject);

const

LEN=10000;

var

I: Integer;

Start:Cardinal;

begin

SetLength(A,LEN);

Randomize;

for I := Low(A) to High(A) do

A[I]:=Random(LEN*10);

Start:=GetTickCount;

QuicSort(A,Low(A),High(A));

ShowMessageFmt('%d large quick sort take time:%d',[LEN,GetTickCount-Start]);

end;

Pascal，非递归快排1

var

s:packed array[0..100,1..7]of longint;

t:boolean;

i,j,k,p,l,m,n,r,x,ii,jj,o:longint;

a:packed array[1..200000]of longint;

function check:boolean;

begin

if i>2 then exit(false);

case i of

1:if (s[k,3]<s[k,2]) then exit(true);

2:if s[k,1]<s[k,4] then exit(true);

end;

exit(false);

end;

procedure qs; //非递归快速排序

begin

k:=1;

t:=true;

s[k,1]:=1;

s[k,2]:=n;

s[k,3]:=1;

while k>0 do

begin

r:=s[k,2];

l:=s[k,1];

ii:=s[k,3];

jj:=s[k,4];

if t then

if (r-l>30) then

begin

x:=a[(r-l+1)shr 1 +l];

ii:=s[k,1];jj:=s[k,2];

repeat

while a[ii]<x do inc(ii);

while a[jj]>x do dec(jj);

if ii<=jj then

begin

m:=a[ii];

a[ii]:=a[jj];

a[jj]:=m;

inc(ii);dec(jj);

end;

until ii>jj;

s[k,3]:=ii;

s[k,4]:=jj;

end

else begin

for ii:=l to r do

begin

m:=a[ii];jj:=ii-1;

while (m<a[jj])and(jj>0) do

begin

a[jj+1]:=a[jj];

dec(jj);

end;

a[jj+1]:=m;

end;

t:=false; dec(k);

end;

if t then

for i:=1 to 3 do

if check then break;

if not t then

begin

i:=s[k,5];

repeat

inc(i);

until (i>2)or check;

end;

if i>2 then begin t:=false; dec(k);end

else t:=true;

if t then

begin

s[k,5]:=i;

inc(k);

case i of

1:begin s[k,1]:=s[k-1,3];s[k,2]:=s[k-1,2];end;

2:begin s[k,1]:=s[k-1,1];s[k,2]:=s[k-1,4];end;

end;

begin

readln(n);

for i:=1 to n do read(a[i]);

k:=1;

qs;

for i:=1 to n do //输出

write(a[i],' ');

writeln;

end.

经测试，非递归快排比递归快排快。

Pascal，非递归快排2

//此段快排使用l队列储存待处理范围

var

a:Array[1..100000] of longint;

l:Array[1..100000,1..2] of longint;

n,i:longint;

procedure fs;//非递归快排

var

s,e,k,j,ms,m:longint;

begin

s:=1;e:=1;l[1,1]:=1;l[1,2]:=n;

while s<=e do

begin

k:=l[s,1];j:=l[s,2];m:=random(j-k+1)+k;

ms:=a[m];a[m]:=a[k];

while k<j do

begin

while (k<j)and(a[j]>ms) do dec(j);

if k<j then begin a[k]:=a[j];inc(k);end;

while (k<j)and(a[k]<ms) do inc(k);

if k<j then begin a[j]:=a[k];dec(j);end;

end;

a[k]:=ms;

if l[s,1]<k-1 then begin inc(e);l[e,1]:=l[s,1];l[e,2]:=k-1;end;

if j+1<l[s,2] then begin inc(e);l[e,1]:=j+1;l[e,2]:=l[s,2];end;

inc(s);

end;

begin

randomize;

read(n);

for i:=1 to n do read(a[i]);

fs;

for i:=1 to n do write(a[i],' ');

end.

词条	二分法
释义	数学方面求法计算机应用(Java语言 C语言 C++语言 C++语言中的二分查找法 MATLAB语言快速排序伪代码（非随机）快速排序伪代码（随机） Pascal，递归快排1 Pascal，递归快排2 Delphi 递归快排3 Pascal，非递归快排1 Pascal，非递归快排2) 经济学方面哲学方面一般使用方面数学方面一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的所有零点。假定f(x)在区间（x，y）上连续先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b ①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2>=a，从①开始继续使用中点函数值判断。如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，从①开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。求法给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ. 2 求区间(a,b)的中点c. 3 计算f(c). (1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c; (3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c. (4) 判断是否达到精确度ξ:即若\|a-b\|<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4. 计算机应用由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。 Java语言 public int binarySearch(int[] data,int aim){//以int数组为例，aim为需要查找的数 int start = 0; int end = data.length-1; int mid = (start+end)/2;//a while(data[mid]!=aim&&end>start){//如果data[mid]等于aim则死循环，所以排除 if(data[mid]>aim){ end = mid-1; }else if(data[mid]<aim){ start = mid+1; } mid = (start+end)/2;//b，注意a，b } return (data[mid]!=aim)?-1:mid;//返回结果 } C语言方程式为：f(x) = 0，示例中f(x) = 1+x-x^3 使用示例： input a b e: 1 2 1e-5 solution: 1.32472 源码如下： #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <assert.h> double f(double x) { return 1+x-xxx; } int main() { double a = 0, b = 0, e = 1e-5; printf("input a b e: "); scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &e); e = fabs(e); if (fabs(f(a)) <= e) { printf("solution: %lg\", a); } else if (fabs(f(b)) <= e) { printf("solution: %lg\", b); } else if (f(a)f(b) > 0) { printf("f(%lg)f(%lg) > 0 ! need <= 0 !\", a, b); } else { while (fabs(b-a) > e) { double c = (a+b)/2.0; if (f(a)* f ( c ) < 0) b = c; else a = c; } printf("solution: %lg\", (a+b)/2.0); } return 0; } C++语言 [类C编写]. \|f(x)\|<10^-5 f(x)=2x^3-4x^2+3x-6 #include"iostream" #include"stdio.h" #include"math.h" #define null 0 double fx(double); //f(x)函数 void main() { double xa(null),xb(null),xc(null); do { printf("请输入一个范围x0 x1："); std::cin>>xa>>xb; //输入xa xb的值 printf("%f %f",xa,xb); } while(fx(xa)fx(xb)>=0); //判断输入范围内是否包含函数值0 do { if(fx((xc=(xa+xb)/2))fx(xb)<0) //二分法判断函数值包含0的X取值区间 { xa=xc; } else { xb=xc; } } while(fx(xc)>pow(10.0,-5)\|\|fx(xc)<-1pow(10.0,-5));//判断x根是否在接近函数值0的精确范围内 printf("\ 得数为：%f",xc); } double fx(double x) { return(2.0pow(x,3)-4.0pow(x,2)+3x-6.0); } C++语言中的二分查找法算法：当数据量很大适宜采用该方法。采用二分法查找时，数据需是排好序的。基本思想：假设数据是按升序排序的，对于给定值x，从序列的中间位置开始比较，如果当前位置值等于x，则查找成功；若x小于当前位置值，则在数列的前半段中查找；若x大于当前位置值则在数列的后半段中继续查找，直到找到为止。假如有一组数为3，12，24，36，55，68，75，88要查给定的值24.可设三个变量front，mid，end分别指向数据的上界，中间和下界，mid=（front+end）/2. 1.开始令front=0（指向3），end=7（指向88），则mid=3（指向36）。因为mid>x，故应在前半段中查找。 2.令新的end=mid-1=2，而front=0不变，则新的mid=1。此时x>mid，故确定应在后半段中查找。 3.令新的front=mid+1=2，而end=2不变，则新的mid=2，此时a[mid]=x，查找成功。如果要查找的数不是数列中的数，例如x=25，当第三次判断时，x>a[mid]，按以上规律，令front=mid+1，即front=3，出现front>end的情况，表示查找不成功。例：在有序的有N个元素的数组中查找用户输进去的数据x。算法如下： 1.确定查找范围front=0，end=N-1，计算中项mid（front+end）/2。 2.若a[mid]=x或front>=end,则结束查找；否则，向下继续。 3.若a[mid]<x,说明待查找的元素值只可能在比中项元素大的范围内，则把mid+1的值赋给front，并重新计算mid，转去执行步骤2；若a[mid]>x，说明待查找的元素值只可能在比中项元素小的范围内，则把mid-1的值赋给end，并重新计算mid，转去执行步骤2。代码： #include<iostream> #define N 10 using namespace std; int main() { int a[N],front,end,mid,x,i; cout<<"请输入已排好序的a数组元素:"<<endl; for(i=0;i<N;i++) cin>>a[i]; cout<<"请输入待查找的数x:"<<endl; cin>>x; front=0; end=N-1; mid=(front+end)/2; while(front<end&&a[mid]!=x) { if(a[mid]<x)front=mid+1; if(a[mid]>x)end=mid-1; mid=front + (end - front)/2; } if(a[mid]!=x) cout<<"没找到！"<<endl; else cout<<"找到了！在第"<<mid+1<<"项里。"<<endl; return 0; } MATLAB语言 function y=f(x) y=f(x); %函数f(t)的表达式 i=0; %二分次数记数 a=a; %求根区间左端 b=b; %求根区间右端 fa=f(a); %计算f(a)的值 fb=f(b); %计算f(b)的值 c=(a+b)/2; %计算区间中点 fc=f(c); %计算区间中点f(c) while abs(fc)>=ε; %判断f(c)是否为零点 if fafc>=0; %判断左侧区间是否有根 fa=fc; a=c; else fb=fc; b=c; end c=(a+b)/2; fc=f(c); i=i+1; end fprintf('\%s%.6f\\t%s%d','c,'迭代次数i=',i) %计算结果输出快速排序伪代码（非随机）下面的过程实现快速排序： QUICKSORT(A，p，r) 1ifp<r 2thenq ← PARTITION(A，p，r) 3　QUICKSORT(A，p，q-1) 4　QUICKSORT(A，q+1，r) 为排序一个完整的数组A，最初的调用是QUICKSORT(A，1，length[A])。快速排序算法的关键是PARTITION过程，它对子数组A[p..r]进行就地重排： PARTITION(A，p，r) 1x ← A[r] 2i ← p-1 3forj ← ptor-1 4do ifA[j]≤x 5theni ← i+1 6　exchange A[i]←→A[j] 7　exchange A[i+1]←→A[r] 8returni+1 快速排序伪代码（随机）对PARTITION和QUICKSORT所作的改动比较小。在新的划分过程中，我们在真正进行划分之前实现交换：（其中PARTITION过程同快速排序伪代码（非随机）） RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r) 1i ← RANDOM(p，r) 2　exchange A[r]←→A[i] 3return PARTITION(A，p，r) 新的快速排序过程不再调用PARTITION，而是调用RANDOMIZED-PARTITION。 RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，r) 1ifp<r 2thenq ← RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r) 3　RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，q-1) 4　RANDOMIZED-QUICKSORT(A，q+1，r) Pascal，递归快排1 procedure work(l,r: longint); var i,j,tmp: longint; begin if l<r then begin i:=l;j:=r;tmp:=stone[i]; while i<j do begin while (i<j)and(tmp<stone[j])do dec(j); if(i<j) then begin stone[i]:=stone[j]; inc(i); end; while (i<j)and(tmp>stone[i])do inc(i); if i<j then begin stone[j]:=stone[i]; dec(j); end; end; stone[i]:=tmp; work(l,i-1); work(i+1,r); end; end;//本段程序中stone是要排序的数组，从小到大排序，stone数组为longint（长整型）类型。在主程序中的调用命令为“work(1,n);”不含引号。表示将stone数组中的1到n号元素进行排序。 Pascal，递归快排2 Program quiksort; //快速排序法 const max=100; var n:integer; a:array[1..max] of longint; procedure sort(l,r: longint); var i,j,x,y: longint; begin i:=l; j:=r; x:=a[(l+r) div 2]; repeat while a[i]<x do inc(i); while x<a[j] do dec(j); if i<=j then begin y:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=y; inc(i); dec(j); end; until i>j; if l<j then sort(l,j); if i<r then sort(i,r); end; begin //生成数组; randomize; for n:=1 to max do begin a[n]:=random(1000); write(a[n]:5); end; writeln; //排序 sort(1,max); //输出 for n:=1 to max do write(a[n]:5);writeln; end. Delphi 递归快排3 type TNTA=array of integer; var A:TNTA; procedure QuicSort(var Arr:TNTA;AStart,AEnd:Integer); var I,J,Sign:integer; procedure Switch(A,B:Integer); var Tmp:Integer; begin Tmp:=Arr[A]; Arr[A]:=Arr[B]; Arr[B]:=Tmp; end; begin if AEnd<=AStart then Exit; Sign:=(AStart+AEnd)div 2; {Switch value} Switch(Sign,AEnd); {Start to sort} J:=AStart; for I := AStart to AEnd-1 do begin if (Arr[I]<Arr[AEnd]){ and (I<>J)} then begin Switch(J,I); Inc(J); end; end; Switch(J,AENd); QuicSort(Arr,AStart,J); QuicSort(Arr,J+1,AEnd); end; procedure TForm1.btn1Click(Sender: TObject); const LEN=10000; var I: Integer; Start:Cardinal; begin SetLength(A,LEN); Randomize; for I := Low(A) to High(A) do A[I]:=Random(LEN10); Start:=GetTickCount; QuicSort(A,Low(A),High(A)); ShowMessageFmt('%d large quick sort take time:%d',[LEN,GetTickCount-Start]); end; Pascal，非递归快排1 var s:packed array[0..100,1..7]of longint; t:boolean; i,j,k,p,l,m,n,r,x,ii,jj,o:longint; a:packed array[1..200000]of longint; function check:boolean; begin if i>2 then exit(false); case i of 1:if (s[k,3]<s[k,2]) then exit(true); 2:if s[k,1]<s[k,4] then exit(true); end; exit(false); end; procedure qs; //非递归快速排序 begin k:=1; t:=true; s[k,1]:=1; s[k,2]:=n; s[k,3]:=1; while k>0 do begin r:=s[k,2]; l:=s[k,1]; ii:=s[k,3]; jj:=s[k,4]; if t then if (r-l>30) then begin x:=a[(r-l+1)shr 1 +l]; ii:=s[k,1];jj:=s[k,2]; repeat while a[ii]<x do inc(ii); while a[jj]>x do dec(jj); if ii<=jj then begin m:=a[ii]; a[ii]:=a[jj]; a[jj]:=m; inc(ii);dec(jj); end; until ii>jj; s[k,3]:=ii; s[k,4]:=jj; end else begin for ii:=l to r do begin m:=a[ii];jj:=ii-1; while (m<a[jj])and(jj>0) do begin a[jj+1]:=a[jj]; dec(jj); end; a[jj+1]:=m; end; t:=false; dec(k); end; if t then for i:=1 to 3 do if check then break; if not t then begin i:=s[k,5]; repeat inc(i); until (i>2)or check; end; if i>2 then begin t:=false; dec(k);end else t:=true; if t then begin s[k,5]:=i; inc(k); case i of 1:begin s[k,1]:=s[k-1,3];s[k,2]:=s[k-1,2];end; 2:begin s[k,1]:=s[k-1,1];s[k,2]:=s[k-1,4];end; end; end; end; end; begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); k:=1; qs; for i:=1 to n do //输出 write(a[i],' '); writeln; end. 经测试，非递归快排比递归快排快。 Pascal，非递归快排2 //此段快排使用l队列储存待处理范围 var a:Array[1..100000] of longint; l:Array[1..100000,1..2] of longint; n,i:longint; procedure fs;//非递归快排 var s,e,k,j,ms,m:longint; begin s:=1;e:=1;l[1,1]:=1;l[1,2]:=n; while s<=e do begin k:=l[s,1];j:=l[s,2];m:=random(j-k+1)+k; ms:=a[m];a[m]:=a[k]; while k<j do begin while (k<j)and(a[j]>ms) do dec(j); if k<j then begin a[k]:=a[j];inc(k);end; while (k<j)and(a[k]<ms) do inc(k); if k<j then begin a[j]:=a[k];dec(j);end; end; a[k]:=ms; if l[s,1]<k-1 then begin inc(e);l[e,1]:=l[s,1];l[e,2]:=k-1;end; if j+1<l[s,2] then begin inc(e);l[e,1]:=j+1;l[e,2]:=l[s,2];end; inc(s); end; end; begin randomize; read(n); for i:=1 to n do read(a[i]); fs; for i:=1 to n do write(a[i],' '); end. 经济学方面传统的经济学家把经济分为实物经济和货币经济两部分，其中，经济理论分析实际变量的决定，而货币理论分析价格的决定，两者之间并没有多大的关系，这就是所谓的二分法。哲学方面又称二分说，爱利亚学派芝诺四大著名悖论之一　证明运动是不可能的。　其主要思路是：假设一个存在物经过空间而运动，为了穿越某个空间，就必须穿越这个空间的一半。为了穿越这一半，就必须穿越这一半的一半；以此类推，直至无穷。所以，运动是不可能的。一般使用方面即将所有的事物根据其属性分成两种。错误的分类可能导致逻辑谬论，如：非黑即白，不是忠的就是奸的。这很明显忽略了中间状态的存在。正确的分类法应如：白-非白。
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