顶点式

解释

推导

考点扫描

名师讲解

顶点式

顶点式：y=a(x-h)^2+k

顶点坐标：(h,k)

解释

在二次函数的图像上

顶点式：y=a(x-h)^2+k, 抛物线的顶点P（h,k）

顶点坐标：对于一般二次函数 y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

推导

一般式y=ax²+bx+c提a..得y=a(x²+b/a x)+c配方..y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a...令平方项为0 x=-b/2a y=(4ac-b²)/4a

所以顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

考点扫描

1．会用描点法画出二次函数的图象．

2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置．

3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．

4. 将一般式化为顶点式。

名师讲解

1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax²　y=a(x-h) ²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

顶点坐标

(0，0)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a,(4ac-b²)/4a)

对 称 轴

x=0

x=h

x=h

x= -b/2a

当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax&sup2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax&sup2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax&sup2;+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)&sup2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax&sup2;+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()．

3．抛物线y=ax&sup2;+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax&sup2;+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b&sup2;-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax&sup2;+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=．

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax&sup2;+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax&sup2;+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)&sup2;+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．